分子lim[x→0](1+x)^(1/x)-e=lim[x→0](1+x)^(1/x)-e=e-e=0

分母lim[x→0]x=0

所以題目屬於0/0形式,適合用洛必達法則:

首先求(1+x)^(1/x)的導數

設y=(1+x)^(1/x)

lny=ln(1+x)/x,兩邊對x求導

1/y·y"=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x2

1/y·y"=[x-(1+x)ln(1+x)]/x2(1+x)

y"=[x-(1+x)ln(1+x)]/[x2(1+x)]·(1+x)^(1/x)

lim[x→0][(1+x)^(1/x)-e]/x,上下分別求導,分母x的導數是1,e的導數是0,所以剩餘的就是(1+x)^(1/x)的導數

=lim[x→0][x-(1+x)ln(1+x)]/[x2(1+x)]·(1+x)^(1/x)

=lim[x→0](1+x)^(1/x)·lim[x→0][x-(1+x)ln(1+x)]/[x2(1+x)]

=e·lim[x→0]{1-[ln(1+x)+(1+x)·1/(1+x)]}/[(1+x)·2x+x2],再上下求導

=e·lim[x→0][1-ln(1+x)-1]/(2x+3x2)

=e·-lim[x→0]ln(1+x)/(2x+3x2)

=e·-lim[x→0]1/(1+x)/(2+6x),再上下求導

=e·-lim[x→0]1/[(1+x)(2+6x)],此時不為0/0形式,可以代入數值

=e·-1/[(1+0)(2+0)]

=e·-1/2

=-e/2