[(tanx)/x]^(1/x²)

= e^ln[(tanx)/x]/x²

= e^[ln(tanx) - lnx]/x²

lim(x→0) [ln(tanx) - lnx]/x²,0/0型,洛必達法則

= lim(x→0) (sec²x/tanx - 1/x)/(2x)

= lim(x→0) [1/(sinxcosx) - 1/x]/(2x)

= lim(x→0) (x - sinxcosx)/(2x²sinxcosx)

= lim(x→0) [x - (1/2)sin2x]/(x²sin2x),0/0型,洛必達法則

= lim(x→0) (1 - cos2x)/(2x²cos2x + 2xsin2x)

= lim(x→0) [1 - (1 - 2sin²x)]/(2x²cos2x + 2xsin2x)

= lim(x→0) 2sin²x/(2x²cos2x + 2xsin2x)

= lim(x→0) x²/(x²cos2x + xsin2x),sin²x x²當x→0

= lim(x→0) x/(xcos2x + sin2x)

= lim(x→0) 1/[(xcos2x + sin2x)/x]

= lim(x→0) 1/[cos2x + (sin2x)/(2x) · 2]

= 1/(1 + 2)

= 1/3

∴lim(x→0) [(tanx)/x]^(1/x²) = e^(1/3)

擴充套件資料

極限的求法有很多種：

1、連續初等函式，在定義域範圍內求極限，可以將該點直接代入得極限值，因為連續函式的極限值就等於在該點的函式值。

2、利用恆等變形消去零因子（針對於0/0型）。

3、利用無窮大與無窮小的關係求極限。

4、利用無窮小的性質求極限。

5、利用等價無窮小替換求極限，可以將原式化簡計算。

6、利用兩個極限存在準則，求極限，有的題目也可以考慮用放大縮小，再用夾逼定理的方法求極限。