1^3+2^3+.+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 .(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 因此1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2注：本題的思路是降次的使用,求n個數的三次方的和是利用相臨的二個數的四次方相減,中間有一步是要用到n個數的平方和公式：1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6,這個公式和求三次方的和是一樣,也是利用相臨的二個數的立方相減來得到的,你可以自己利用求n個數的三次方的和是利用相臨的二個數的四次方相減來求出
1^3+2^3+.+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 .(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 因此1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2注：本題的思路是降次的使用,求n個數的三次方的和是利用相臨的二個數的四次方相減,中間有一步是要用到n個數的平方和公式：1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6,這個公式和求三次方的和是一樣,也是利用相臨的二個數的立方相減來得到的,你可以自己利用求n個數的三次方的和是利用相臨的二個數的四次方相減來求出