我明白題主的困惑，這裡嘗試給出一個解釋。這個解釋從最簡單的加法說起。

很清楚，將有限多個數相加，我們有很多的玩法。比如：要求這個

可以隨心所欲地新增括號，這就是所謂的加法結合律：

還可以肆無忌憚地倒換順序，這就是所謂的加法交換律：

不管你怎麼搞事情，結果都是一樣的，

那麼，無限多個數相加又如何呢？比如我們想算這貨，無窮多個 作為加數交替出現：

怎麼來算呢？或許我們可以這樣

好像蠻不錯！但是別忘了，我們還可以這樣

這就真搞出事情來了！一個算式怎麼會算出兩種結果？難道 ？題主一定感覺到什麼地方出了問題。問題出在哪呢？

事實上，根源在於，這裡的無窮多項的和還沒有得到良好的定義，我們不能直接將有限項和的那些運算規則草率地推廣到無窮項和中去。

那麼，怎麼來定義這無窮項和？數學家想到了一個辦法，就是利用極限的思想，把這無窮多項的和定義為前 項和的極限。一般地，將式子

定義為

題主一定知道， 這個極限不一定存在（用行話來說，就是不一定收斂），那麼這就意味著 所表示的無窮項和也可能不存在。很不幸！題主所演算的這個例子恰好就屬於這不存在的情形，因此你不能按通常的運演算法則來倒騰它！

我就說這麼多。