設長方形的長寬高和體積分別為x，y，z，V。

依題意，我們有xy+yz+zx=A/2，V=xyz，同時x，y，z都大於0。

①方法一（初等方法）：

由均值不等式（準確地說是三元算數-幾何平均不等式）我們有：

A/2=xy+yz+zx≥3(xyz)^(2/3)=3V^(2/3)

因而有V≤(A/6)^(3/2)

等號成立當且僅當xy=yz=zx當且僅當x=y=z

此時可得V有最大值(A/6)^(3/2)

②方法二（拉乘）：

先在約束g(x, y, z)=xy+yz+zx-A/2=0的情況下求V(x, y, z)=xyz的臨界點。

構造拉氏函式L(x, y, z, σ)=V(x, y, z)+σg(x, y, z)，令L的梯度為零（向量），可整理得到

-1/σ=1/x+1/y=1/y+1/z=1/z+1/x(包括約束g=0)

由此解得可能的條件極值點(x, y, z)=(c, c, c)，其中c＝(A/6)^(1/2)。

不難驗證該點即為V的最大值點，相應的最大值為(A/6)^(3/2)（這個驗證過程儘管有些繁瑣，但並不困難）。