這是極限的一個重要的定義，即lim（1+1/n）的n次方=e（e是常數）

推到過程如下，可以自己看看。。

首先需要二項式定理：

（a+b）^n=∑C（i=0–>i=n）nia^(n-i)*b^i（式一）

用數學歸納法證此定理：

n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1

?a+b

?故此，n=1時，式一成立。

設n1為任一自然數，假設n=n1時，（式一）成立，即：

（a+b）^n1=∑C（i=0–>i=n1）n1ia^(n1-i)*b^i（式二）

則，當n=n1+1時:

式二兩端同乘（a+b）

[（a+b）^n1]*(a+b)=[∑C（i=0–>i=n1）n1ia^(n1-i)*b^i]*(a+b)

=>(a+b)^(n1+1)=∑C（i=0–>i=(n1+1)）(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(據乘法分配律)

因此二項式定理（即式一成立）

下面用二項式定理計算這一極限：

（1+1/n）^n（式一）

用二項式展開得：

（1+1/n）^n=1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3+…+[(n(n-1)(n-2)…3)/((n-2)(n-1)…2*1)]*(1/n)^(n-2)+[(n(n-1)(n-2)…3*2)/((n-1)(n-2)(n-1)…2*1)]*(1/n)^(n-1)+[(n(n-1)(n-2)…3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1)…2*1)]*(1/n)^n

由於二項展開式係數項的分子乘積的最高次項與（1/n）的次數相同，而係數為1，因此，最高次項與（1/n）的相應次方剛好相約，得1，低次項與1/n的相應次方相約後，分子剩下常數，而分母總餘下n的若干次方，當n->+∞,得0。因此總的結果是當n->+∞，二項展開式係數項的各項分子乘積與（1/n）的相應項的次方相約，得1。餘下分母。於是式一化為：

（1+1/n）^n=1+1+1/2！+1/3！+1/4！+1/5！+1/6！+…+1/n！（式二）

當n->+∞時，你可以用計算機，或筆計算此值。這一數值定義為e。

補充：

將式二和公比為1/2的等比數列比較，其每一項都小於此等比數列，而此等比數列收斂，因此，式二必定收斂於一固定數值。