外代數，又稱格拉斯曼代數。學習外代數，只要把線性空間及線性變換的基本問題搞明白就容易理解了。如果還有的話，需要理解張量有關內容。當然如果需要深入理解，還是需要一些抽象代數結構，比如群、環、域等內容。 很多教材中把外代數中的“外積”（或“外乘”），與解析幾何中提到的“外積”類比。特別需要注意的是，可以類比，但這兩個是不同的概念。區別是，外代數中的“外積”滿足結合律，解析幾何中的“外積”不滿足結合律。具體可以參考丘維聲老師編的高等代數（見下方）相關內容。 外代數應用領域包括微分幾何、高等分析、量子力學。離數學系本科中最容易接觸的是微分幾何，在微分幾何相關教材中有相關介紹，這裡的介紹一般都是經過簡化的一些內容，可以參考一下。另外藍以中《高等代數簡明教程》下冊最後一節，丘維聲《高等代數》下冊最後一章，項武義《古典幾何學》，《代數學引論》第二卷第六章也有相關內容，都可參考一下。

（小石頭嘗試著來回答這個問題！）

設 V 是數域 K 上的 n 維線性空間，定義在 V 上的 r（≥ 1）元函式 f: Vʳ → K，如果，對於每個引數都可以保持 線性運算（稱為 線性性），即，（對於任意 x, y ∈ V, k ∈ K, 1 ≤ i ≤ r ）

f(x¹, ..., xⁱ = x + y, ..., xʳ) = f(x¹, ..., x, ..., xʳ) + f(x¹, ..., y, ..., xʳ)

f(x¹, ..., xⁱ = kx, ..., xʳ) = kf(x¹, ..., x, ..., xʳ)

則，稱 f 是 r元線性函式。

一般，稱 1元線性函式 為 （單）線性函式， 2元線性函式 為 雙 線性函式，2元以上的線性函式 為 多線性函式。

給定任意 r ≥ 0，將 全體 r 元 線性函式，記為 Vᵣ，這裡規定 V₀ = K，即，0 元線性函式 就是 K 中的 常數。

注意：V₁ = V* 是 V 的對偶空間。關於 對偶空間 的詳細介紹可以參考 小石頭的另一個回答：怎麼形象地理解對偶空間？

在 Vᵣ 上定義 線性運算（對於任意 f, g ∈ Vᵣ, k ∈ K）：

加法：(f + g)(x¹, ..., xʳ) = f(x¹, ..., xʳ) + g(x¹, ..., xʳ)

數乘：(kf)(x¹, ..., xʳ) = kf(x¹, ..., xʳ)

則 Vᵣ 構成一個線性空間。

我們 也將 Vᵣ 中的 r元線性函式 稱為 r階（協變）張量，對於 任意 張量 f ∈ Vᵣ 和 g∈ Vᵤ 可以定義 一種積運算：

(f ⊗ g)(x¹, ..., xʳ , xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = f(x¹, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ)

稱 ⊗ 為張量積。

顯然，對於 每個引數 1 ≤ i ≤ r ，f ⊗ g 滿足線性性，因為：

(f ⊗ g)(x¹, ..., xⁱ = x + y, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = f(x¹, ..., xⁱ = x + y, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = (f(x¹, ..., x, ..., xʳ) + f(x¹, ..., y, ..., xʳ))g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = f(x¹, ..., x, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) + f(x¹, ..., y, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = (f ⊗ g)(x¹, ..., x, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) + (f ⊗ g)(x¹, ..., y, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ)

(f ⊗ g)(x¹, ..., xⁱ = kx, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = f(x¹, ..., xⁱ = kx, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = kf(x¹, ..., x, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = k(f ⊗ g)(x¹, ..., x, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ)

對於 每個引數 r + 1 ≤ i ≤ r + u，f ⊗ g 也滿足多線性性（原因和上面類似），故，f ⊗ g ∈ Vᵣ₊ᵤ 是一個 r+u 階 張量。

如果，令 G = V₀ ∪ V₁ ∪ ⋯ ，則 ⊗ 在 G 中封閉，是 G 上的二元運算 ⊗: G×G → G。

同時，我們將 上面 Vᵣ 中定義加法運算擴充套件到 G 上：對於 張量 f ∈ Vᵣ 和 g∈ Vᵤ ，不妨設 r < u，則可以令，

f"(x¹, ..., xʳ, 0, ..., 0) = f(x¹, ..., xʳ)

其中，u-r 個 0。於是 f" ∈ Vᵤ ，這樣 利用 Vᵣ 的加法運算，得到新的定義：

(f + g)(x¹, ..., xʳ, ..., xᵘ) = (f" + g)(x¹, ..., xʳ, ..., xᵘ) = f"(x¹, ..., xʳ, 0, ..., 0) + g(x¹, ..., xʳ, ..., xᵘ) = f(x¹, ..., xʳ) + g(x¹, ..., xʳ, ..., xᵘ)

注意：這裡並沒有 將 Vᵣ 中數乘運算 引入 G，因為： kf = k⊗f，f ∈ Vᵣ，k ∈ K = V₀ 。

這樣 G 上就同時具有 加法 + 和 張量積 ⊗ 兩種運算，並且具有如下性質（對於任意 f, g, h ∈ G）：

加法 結合律：((f + g) + h))(...) = (f + g)(...) + h(...) = (f(...) + g(...)) + h(...) = f(...) + (g(...) + h(...)) = f(...) + (g + h)(...) = (f + (g + h))(...)；

加法 交換律 (f + g)(...) = f(...) + g(...) = g(...) + f(...) = (g + f)(...) ；

張量積 結合律：((f ⊗ g) ⊗ h))(...) = (f ⊗ g)(...)h(...) = (f(...)g(...))h(...) = f(...)(g(...)h(...)) = f(...) (g ⊗ h)(...) = (f ⊗ (g ⊗ h))(...)；

分配律：

((f + g) ⊗ h)(...) = (f + g)(...)h(...) = (f(...) + g(...))h(...) = f(...)h(...) + g(...)h(...) = (f⊗h)(...) + (g⊗h)(...)；

((f ⊗ (g + h)(...) = f(...) (g + h)(...) = f(...)(g(...) + h(...)) = f(...)g(...) + f(...)h(...) = (f⊗g)(...) + (f⊗h)(...)；

考察 ⊗ 的交換律，對於 k ∈ V⁰ = R 和 任意 f ∈ Vᵣ 來說，⊗ 是滿足交換律的：

(k⊗f)(x¹, ..., xʳ) = kf(x¹, ..., xʳ) = f(x¹, ..., xʳ)k = (f⊗k)(x¹, ..., xʳ)

但，對於 任意 f ∈ Vᵣ (r ≥ 1) 和 g ∈ Vᵤ (u ≥ 1)，有，

(f ⊗ g)(x¹, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = f(x¹, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ)f(x¹, ..., xʳ) = (g ⊗ f)(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ, x¹, ..., xʳ)

而，交換律要求滿足：

(f ⊗ g)(x¹, ..., xʳ, y¹, ..., yˢ) = (g ⊗ f)(x¹, ..., xʳ, y¹, ..., yˢ)

所以，⊗ 不一定滿足交換律，除非滿足條件 ①：

(g ⊗ f)(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ, x¹, ..., xʳ) = (g ⊗ f)(x¹, ..., xʳ, y¹, ..., yˢ)

設，ωᵣ = {1, 2, ..., r}，則可以定義雙射 s: ωᵣ → ωᵣ，稱 s 是 ωᵣ 的一個置換，我們將，ωᵣ 的所有 置換 組成的集合，記為 Ωᵣ。

每個 置換 s ∈ Ωᵣ 都對應 一個 ωᵣ 的全排列： s(1)s(2)⋯s(r) 。

考慮 r 和 u 的任意性，上面的條件 ① 等價於 條件 ①"：對於任意 f ∈ Vᵣ，s ∈ Ωᵣ，都有，

f(x¹, x², ..., xʳ) = f(xˢ⁽¹⁾, xˢ⁽²⁾, ..., xˢ⁽ʳ⁾)

稱 滿足這樣條件的函式 為 對稱函式。

一般的 線性函式 f 是 不滿足上面條件的，但我們可以 將 f 的 所有 引數置換後 的函式 進行算術平均，得到一個新函式：

Sᵣ(f) 顯然是 對稱的，稱 Sᵣ: Vᵣ → Vᵣ 為對稱化運算元。

我們發現，上面的等價條件 ①" 還可以進一步簡化為：對於任意 f ∈ Vᵣ，交換任意相鄰的兩個引數，函式值都保持不變，即，對於任意 1 ≤ i < r，有，

f(x¹, ..., xⁱ, xⁱ⁺¹, ..., xʳ) = f(x¹, ..., xⁱ⁺¹, xⁱ, ..., xʳ)

對這個條件稍作改進，得到一個新條件 ②：讓 交換 f ∈ Vᵣ 任意相鄰的兩個引數後函式都相反，即，對於任意 1 ≤ i < r，有，

f(x¹, ..., xⁱ, xⁱ⁺¹, ..., xʳ) = -f(x¹, ..., xⁱ⁺¹, xⁱ, ..., xʳ)

滿足 條件 ② 的函式 被稱為 反對稱函式。

由 反對稱函式 的條件 我們不難證明：

其中，N(s(1)s(2)⋯s(r)) 表示 s(1)s(2)⋯s(r) 的逆序數。這樣以來，仿照 f 的對稱化運算元，我們可以定義 f 的反對稱化運算元 Aᵣ: Vᵣ → Vᵣ 如下：

f(x¹, ..., x, ..., x, ..., xʳ) = 0

因為 任意位置的兩個引數都可以替換為 相鄰兩個引數，因此 我們只需要證明： 相鄰兩個引數相等函式值為零，就可以了，而 根據 條件 ② 有，

f(x¹, ..., x, x, ..., xʳ) = -f(x¹, ..., x, x, ..., xʳ)

f(x¹, ..., x, x, ..., xʳ) + f(x¹, ..., x, x, ..., xʳ) = 2f(x¹, ..., x, x, ..., xʳ) = 0

f(x¹, ..., x, x, ..., xʳ) = 0

設 e₁, e₂, ..., e_n 是 n 維度線性空間 V 的一組基，對於任意 f ∈ Vᵣ，以及 V 中的 任意 r 個向量，

利用 根據 f 的多線性性，有 ④，

定義函式 eⁱ : V → K ，如下：

則，eⁱ 為 向量的座標分量索引函式，因為，對於任意向量 x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n 有：

eⁱ (x) = eⁱ (x₁e₁ + x₂e₂ + ...+ xᵢeᵢ+ ... + x_ne_n) = x₁eⁱ (e₁) + x₂eⁱ (e₂) + ... + xᵢeⁱ (eᵢ) + ... + x_neⁱ (e_n) = x₁0 + x₂0 + ... + xᵢ1 + ... + x_n0 = xᵢ

又由於，

eⁱ(x + y) = eⁱ((x₁, ..., x_n) + (y₁, ..., y_n)) = eⁱ((x₁ + y₁, ..., x_n + y_n)) = xᵢ + yᵢ = eⁱ(x) + eⁱ(y)

eⁱ(kx) = eⁱ(k(x₁, ..., x_n)) = eⁱ((kx₁, ..., kx_n)) = kxᵢ = keⁱ(x)

所以 eⁱ 是 線性函式，即， eⁱ ∈ V₁。

利用，新定義的 索引函式，可以 改寫 ④ 為 ④"：

可以證明：e¹⊗⋯⊗e¹, ..., eʳ⊗⋯⊗eʳ 是線性無關，因此 它是 Vᵣ 的一組基，Vᵣ 的維度是 nʳ 。

我們，用 Eᵣ ⊆ Vᵣ 表示 Vᵣ 中反對稱函式的全體，顯然，對於 r ＜ 2 談不上 交換引數，於是， E₀ = V₀，E₁ = V₁。

回憶，《線性代數》中行列式的定義，我們發現 上面 圓括號中的 累積表示式，就是 行列式，即，

同時，利用 張量積 和 反對稱運算元，這個 累積表示式 還可以進一步，改寫：

記，

則，得到 ⑤，

可以證明 C(n, r) 個 eⁱˢ⁽¹⁾ ∧ eⁱˢ⁽²⁾ ∧ ⋯ ∧ eⁱˢ⁽ʳ⁾ 是線性無關，因此 它們是 Eᵣ 的一組基，進而 Eᵣ 是維度 為 C(n, r) 的線性空間 。

將，G 中所有 反對稱多線性函式 組成的集合，記為 E，則

E = E₀ ∪ E₁ ∪ ⋯ ∪ E_n ∪ E_n+1 ∪ ⋯

考慮，對於 任意 f ∈ Vᵣ，當 r > n 時，任意 一組 引數 x¹, x² ..., xʳ ∈ V，由於 r 大於 V 的維度，所有 這組引數 必然線性相關，不妨設，x¹ = a₂x² + ... + aᵣxʳ，帶入 f，再根據 f 的線性性，有：

f(x¹, x² ..., xʳ) = f(a₂x² + ... + aᵣxʳ, x² ..., xʳ) = a₂f(x², x² ..., xʳ) + ... + aᵣf(xʳ, x² ..., xʳ) = a₂0 + ... + aᵣ0 = 0

也就是說，當 r > n 時，f(x¹, x² ..., xʳ) = 0，為常零函式。常零函式，當做 0 看待，於是 E_n+1 = ... = {0} ⊆ E₀，進而，有，

E = E₀ ∪ E₁ ∪ ⋯ ∪ E_n

於是，E 是 一個維度 為 C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2ⁿ 的 線性空間。

在 E 中，對於 任意 f ∈ Eᵣ 和 g ∈ Eᵤ 定義運算：

稱 ∧ 外積，(E, +, ∧) 為一個 外代數。

基於 ⊗ 的分配律，可以推匯出 ∧ 也滿足 分配率（設，任意 h ∈ Eᵥ）：

(f + g) ∧ h = f∧h + g∧h

f ∧ (g + h) = f∧g + f∧h

由 外積的定義，知道 (f ∧ g)(x¹, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = (g ∧ f )(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ, x¹, ..., xʳ)，而

(g ∧ f )(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ, x¹, ..., xʳ) = (-1)ᵘ(g ∧ f )(x¹, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ, x², ..., xʳ) = (-1)²ᵘ(g ∧ f )(x¹, x², xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ, x³ ..., xʳ) = ... = (-1)ʳᵘ (g ∧ f )(x¹, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ)

故，我的得到：

g ∧ f = (-1)ʳᵘ g ∧ f

這稱為 反交換律。 特別地，對於 任意 f, g ∈ V₁ 有，

f ∧ g = - g ∧ f

再考慮，結合律，有，

(f ∧ g) ∧ h = f ∧ g = (r + u + v)! /(r+u)!v! ⋅ Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ((f ∧ g) ⊗ h) = (r + u + v)! /(r+u)!v! ⋅ Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ(((r + u)! /r!u! ⋅ Aᵣ₊ᵤ(f ⊗ g)) ⊗ h) = (r + u + v)! / (r+u)!v! ⋅ (r + u)! /r!u! ⋅ Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ(Aᵣ₊ᵤ(f ⊗ g) ⊗ h) = (r + u + v)! /r!u!v! ⋅ Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ (Aᵣ₊ᵤ(f ⊗ g) ⊗ h)

令 aᵣ₊ᵤ(f ⊗ g ⊗ h) 是對 f ⊗ g ⊗ h 的前 r+u 個引數進行部分 反對稱化，則，

Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ (Aᵣ₊ᵤ (f ⊗ g) ⊗ h) =Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ (aᵣ₊ᵤ(f ⊗ g ⊗ h)) = (Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ ∘ aᵣ₊ᵤ)(f ⊗ g ⊗ h)

注意，Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ 的操作依賴於全體 s ∈ Ωᵣ₊ᵤ₊ᵥ，aᵣ₊ᵤ 的操作依賴於全體 s" ∈ Ω"ᵣ₊ᵤ₊ᵥ = {s ∈ Ωᵣ₊ᵤ₊ᵥ | s(r+u+i) = r+u+i, i = 1, ..., v} 因為 Ω"ᵣ₊ᵤ₊ᵥ ⊆ Ωᵣ₊ᵤ₊ᵥ，所有 Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ ∘ aᵣ₊ᵤ 操作依賴於全體 s ∘ s" ∈ Ωᵣ₊ᵤ₊ᵥ，這說明 Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ = Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ ∘ aᵣ₊ᵤ，即，反對稱運算元的性質 ⑥，

Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ (Aᵣ₊ᵤ (f ⊗ g) ⊗ h) = Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ(f ⊗ g ⊗ h)

於是，我們得到 公式：

(f ∧ g) ∧ h = (r + u + v)! /r!u!v! ⋅ Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ(f ⊗ g ⊗ h)

同理，可以證明：

f ∧ (g ∧ h) = (r + u + v)! /r!u!v! ⋅ Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ(f ⊗ g ⊗ h)

故，∧ 滿足結合律：

(f ∧ g) ∧ h = f ∧ (g ∧ h) = f ∧ g ∧ h

利用 ∧ 結合律 和 性質 ⑥，對於 一組 fⁱ ∈ Eᵣᵢ, i = 1, ..., v，不難得出：

f¹ ∧ ... ∧ fⁱᵛ = (r₁ + ... + rᵥ) /r₁! ⋯ rᵥ! ⋅ Aᵣ₁₊...₊ᵣᵥ(f¹ ⊗ ... ⊗ fⁱᵛ )

於是，有，

eⁱˢ⁽¹⁾ ∧ eⁱˢ⁽²⁾ ∧ ⋯ ∧ eⁱˢ⁽ʳ⁾ = (1 + 1 + ... + 1)!/1!1!⋯1! ⋅ A₁₊₁₊...₊₁(eⁱˢ⁽¹⁾ ⊗ eⁱˢ⁽²⁾ ⊗ ⋯ ⊗ eⁱˢ⁽ʳ⁾ ) = r! Aᵣ(eⁱˢ⁽¹⁾ ⊗ eⁱˢ⁽²⁾ ⊗ ⋯ ⊗ eⁱˢ⁽ʳ⁾ )

這說明，公式 ⑤ 處的記號，相容 上面的 ∧ 定義。同時，根據 公式 ⑤，每一個參與 外積的 反對稱線性函式都 是 基 e¹，e, ..., eⁿ 的線性組合，於是，其實我們只需要 定義 出 ∧ 關於基的性質，也就定義等於 定義了 一個外代數。

設，V 是 K 上 的 n 維線性空間，e¹，e, ..., eⁿ 為 V 的一組基，令，Eᵣ (1≤ r ≤ n) 是以，

為基的 C(n, r) 維 線性空間，並令 E₀ = K。將這些線性空間的直和構成 的 2ⁿ 維線性空間，記為，

稱，E 上的 二元運算 ∧ 為 外積。∧ 滿以下條件（對於任意 1≤ i, j, k ≤ n）：

結合律：(eⁱ ∧ eʲ) ∧ eᵏ = eⁱ ∧ (eʲ ∧ eᵏ)；

反交換律：eⁱ ∧ eʲ = - eʲ ∧ eⁱ ；

分配律：(eⁱ + eʲ) ∧ eᵏ = eⁱ ∧ eᵏ + eʲ ∧ eᵏ；

稱 由 ∧ 構成的表示式 稱為 外形式， (E, + , ∧) 外代數，也叫 Grassmann 代數。

這樣，我們就得到了一個抽象化的 外代數，上面 用張量積定義的 外代數 只是 Grassmann 代數 的一種實現。

到這裡，關於外代數的知識， 就基本介紹完了。下面列舉一個具體例項，作為結尾：

考慮，V 是三維歐式空間 R³，e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1) 組成 R³ 的一組 標準正交基，對於任意 向量 x¹ = x₁₁e₁ + x₁₂e₂ + x₁₃e₃ 和 x² = x₂₁e₁ + x₂₂e + x₂₃e₃ ，

當 f ∈ V₂ 時，有，

f(x¹, x²) = f( x₁₁e₁ + x₁₂e₂ + x₁₃e₃, x₂₁e₁ + x₂₂e₂ + x₂₃e₃)

= x₁₁f(e₁, x₂₁e₁ + x₂₂e₂ + x₂₃e₃) + x₁₂f(e₂, x₂₁e₁ + x₂₂e₂ + x₂₃e₃) + x₁₃f(e₃, x₂₁e₁ + x₂₂e₂ + x₂₃e₃)

= x₁₁(x₂₁f(e₁, e₁) + x₂₂f(e₁, e₂) + x₂₃f(e₁, e₃)) + x₁₂(x₂₁f(e₂, e₁) + x₂₂f(e₂, e₂) + x₂₃f(e₂, e₃)) + x₁₃(x₂₁f(e₃, e₁) + x₂₂f(e₃, e₂) + x₂₃f(e₃, e₃))

= x₁₁x₂₁f(e₁, e₁) + x₁₁x₂₂f(e₁, e₂) + x₁₁x₂₃f(e₁, e₃) + x₁₂x₂₁f(e₂, e₁) + x₁₂x₂₂f(e₂, e₂) + x₁₂x₂₃f(e₂, e₃) + x₁₃x₂₁f(e₃, e₁) + x₁₃x₂₂f(e₃, e₂) + x₁₃x₂₃f(e₃, e₃)

令，

a₁₁ = f(e₁, e₁), a₁₂ = f(e₁, e₂), ..., a₃₃ = f(e₃, e₃)

再利用上面的 向量座標分量函式 e¹, e², e³，我們得到：

f(x¹, x²) =

a₁₁e¹(x¹)e¹(x²) + a₁₂e¹(x¹)e²(x²) + a₁₃e¹(x¹)e³(x²) +

a₂₁e²(x¹)e¹(x²) + a₂₂e²(x¹)e²(x²) + a₂₃e²(x¹)e³(x²) +

a₃₁e³(x¹)e¹(x²) + a₃₂e³(x¹)e²(x²) + a₃₃e³(x¹)e³(x²)

=

(a₁₁e¹⊗e¹ + a₁₂e¹⊗e² + a₁₃e¹⊗e³

+ a₂₁e²⊗e¹ + a₂₂e²⊗e² + a₂₃e²⊗e³

+ a₃₁e³⊗e¹ + a₃₂e³⊗e² + a₃₃e³⊗e³)(x¹, x);

可見，e¹⊗e¹, ... e³⊗e³ 是 V₂ 的基。

當 f ∈ E₂ 時，有，

f(x¹, x²) = x₁₁x₂₁f(e₁, e₁) + x₁₁x₂₂f(e₁, e₂) + x₁₁x₂₃f(e₁, e₃) + x₁₂x₂₁f(e₂, e₁) + x₁₂x₂₂f(e₂, e₂) + x₁₂x₂₃f(e₂, e₃) + x₁₃x₂₁f(e₃, e₁) + x₁₃x₂₂f(e₃, e₂) + x₁₃x₂₃f(e₃, e₃)

= x₁₁x₂₁0 + x₁₁x₂₂f(e₁, e₂) + x₁₁x₂₃f(e₁, e₃) - x₁₂x₂₁f(e₁, e₂) + x₁₂x₂₂0 + x₁₂x₂₃f(e₂, e₃) - x₁₃x₂₁f(e₁, e₃) - x₁₃x₂₂f(e₂, e₃) + x₁₃x₂₃0

= (x₁₁x₂₂ - x₁₂x₂₁)f(e₁, e₂) + (x₁₂x₂₃ - x₁₃x₂₂)f(e₂, e₃) + (x₁₁x₂₃ - x₁₃x₂₁)f(e₁, e₃)

即，

同時，又有，

f = (e¹⊗e² - e²⊗e¹)f(e₁, e₂) + (e²⊗e³ - e³⊗e²)f(e₂, e₃) + (e¹⊗e³ - e³⊗e¹)f(e₁, e₃)

= 2A₂(e¹⊗e²)f(e₁, e₂) + 2A₂(e²⊗e³)f(e₂, e₃) + 2A₂(e¹⊗e³)f(e₁, e₃)

= f(e₁, e₂) e¹∧e² + f(e₂, e₃) e²∧e³ + f(e₁, e₃) e¹∧e³

= a₁₂e¹∧e² + a₂₃e²∧e³ + a₁₃e¹∧e³

可見，e¹∧e², e²∧e³, e¹∧e³ 是 E₂ 的基。相應地，

E₀ 的基是 1;

E₁ 的基是 e¹, e², e³;

E₃ 的基時 e¹∧e²∧e³;

這些基一定是線性無關的，因為，如果

A + Be¹ + ... + Ee¹∧e² + ... + He¹∧e²∧e³ = 0

等式兩個 同時外乘 以 e¹∧e²∧e³，得到：

Ae¹∧e²∧e³ + Be¹∧e¹∧e²∧e³ + ... + Ee¹∧e²∧e¹∧e²∧e³ + ... + He¹∧e²∧e³∧e¹∧e²∧e³ = 0

Ae¹∧e²∧e³ = 0

A = 0

於是等式改為為：

Be¹ + ... + Ee¹∧e² + ... + He¹∧e²∧e³ = 0

等式兩邊同時外乘以 e²∧e³，得到：

Be¹∧e²∧e³ + ... + Ee¹∧e²∧e²∧e³ + ... + He¹∧e²∧e³∧e²∧e³ = 0

Be¹∧e²∧e³ = 0

B = 0

用類似的方法，最後就得到：

A = B = ... = E = ...= H = 0

補充（2020/3/27)：

證明 C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2ⁿ 可以利用 二項式定理，也可以用歸納法：

當 n = 1 時， C(1, 0) + C(1, 1) = 1 + 1 = 2 = 2¹，公式成立。

當 n 時，公式成立，當 n + 1 時，利用（0 < m ≤ n），

C(n+1, m)

= (n+1)!/m!(n+1-m)!

= (n+1)n!/m!(n-(m-1))!

= (m + n-(m-1))n!/m!(n-(m-1))!

= mn!/m!(n-(m-1))! + (n-(m-1)))n!/m!(n-(m-1))!

= n!/(m-1)!(n-(m-1))! + n!/m!(n-m)!

= C(n, m-1) + C(n, m)

有，

C(n + 1, 0) + C(n + 1, 1) + C(n + 1, 2) + ... + C(n + 1, n) + C(n + 1, n + 1)

= C(n + 1, 0) + C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n, n - 1) + C(n, n) + C(n + 1, n + 1)

= C(n + 1, 0) + C(n, 0) + 2C(n, 1) + 2C(n, 2) + ... + 2C(n, n-1) + C(n, n) + C(n + 1, n + 1)

= C(n, 0) + C(n, 0) + 2C(n, 1) + 2C(n, 2) + ... + 2C(n, n-1) + C(n, n) + C(n, n)

= 2C(n, 0) + 2C(n, 1) + 2C(n, 2) + ... + 2C(n, n-1) + 2C(n, n)

= 2(C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n, n-1) + C(n, n))

= 22ⁿ = 2ⁿ⁺¹