拉普拉斯變換是傅立葉變換的擴充套件，傅立葉變換是拉普拉斯變換的特例，z變換是離散的傅立葉變換在複平面上的擴充套件。

傅立葉變換是最基本得變換，由傅立葉級數推匯出。傅立葉級數只適用於週期訊號，把非週期訊號看成周期T趨於無窮的週期訊號，就推匯出傅立葉變換，能很好的處理非週期訊號的頻譜。但是傅立葉變換的弱點是必須原訊號必須絕對可積，因此適用範圍不廣。

拉普拉斯變換是傅立葉變換的推廣，傅立葉變換不適用於指數級增長的函式，而拉氏變換相當於是帶有一個指數收斂因子的傅立葉變換，把頻域推廣到複頻域，能分析的訊號更廣。然而缺點是從拉普拉斯變換的式子中，只能看到變數s，沒有頻率f的概念。

如果說拉普拉斯變換專門分析模擬訊號，那Z變換就是專門分析數字訊號，Z變換可以把離散卷積變成多項式乘法，對離散數字系統能發揮很好的作用。

Z變換看系統頻率響應，就是令Z在複頻域的單位圓上跑一圈，即Z=e^(j2πf)，即可得到頻率響應。由於傅立葉變換的特性“時域離散，則頻域週期”，因此離散訊號的頻譜必定是週期的，就是以這個單位圓為週期，Z在單位圓上不停的繞圈，就是週期重複。

擴充套件資料

某些情形下一個實變數函式在實數域中進行一些運算並不容易，但若將實變數函式作拉普拉斯變換，並在複數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，

在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可採用傳遞函式代替常係數微分方程來描述系統的特性。

這就為採用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性、分析控制系統的運動過程，以及提供控制系統調整的可能性。

應用拉普拉斯變換解常變數齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，使問題得以解決。在工程學上，拉普拉斯變換的重大意義在於：將一個訊號從時域上，轉換為複頻域（s域）上來表示；在線性系統，控制自動化上都有廣泛的應用。