我們知道，二元一次方程表示的圖形是直線，但一些二元二次方程和無理方程在一定的條件下，它也可以表示一條直線或兩條直線，其解法的基本思想是將方程化歸為二元一次方程，但其方法較為靈活，故筆者將透過一些例項來提供解決此類問題的一些常見解法，以助同學們一臂之力。
1、直接分解法
例1、證明：方程x2-xy-6y2+3x-9y=0表示兩相交直線。
分析：只需將方程左邊分解成兩個二元一次方程即可。
證明：原方程可化為(x-3y)(x+2y)+3(x-3y)=0
(x-3y)(x+2y+3)=0
∴x-3y=0 或x+2y+3=0
∴方程表示兩條直線
又∵它們的斜率不相等，∴兩直線相交。
2、配方法
例2、當k為何值時，方程x2-y2+2kx-4y+3k=0表示直線。
分析 ：對x,y 分別進行配方，把方程化為(x-m)2-(y-n)2=c的形式，令c=0即可表示直線。
解：方程可化為 (x+k)2-(y+2)2=k2-3k-4
令k2-3k-4=0,得k=4或k=-1
即當k=4或-1 時，方程表示直線。
3、待定係數法
例3、若方程x2-2xy-3y2-kx+(k+6)y-2=0表示直線，試確定k 的值。
分析 ：方程中的二次項可分解為(x-3y)(x+y),所以，方程欲表示直線，方程左邊只需分解成(x-3y+m)(x+y+n)=0
即(x-3y)(x+y)+m(x+y)+n(x-3y)+mn=0
(x-3y)(x+y)+(m+n)x+(m-3n)y+mn=0
m+n=-k
m-3n=k+6
mn=-2
m=2
n=-1
k=1
m=1
n=-2
k=-1
∴
∴ k=±1.
4、判別式法
例4、是否存在實數k，使方程x2+2kxy-3y2+4x+(k+3)y+4k=0表示直線，若能，試確定k的值；若不能，請說明理由。
分析：將方程視作x的一元二次方程，即Ax2+Bx+C=0,欲使方程表示直線，只需ㄓx是完全平方式，請注意，它是關於y的二次三項式，而要使y的二次三項式為完全平方，只需ㄓy=0即可。
解：方程可化為x2+(2ky+4)x-3y2+（k+3）y+4k=0
∴ㄓx=(2ky+4)2-4[-3y2+(k+3)y+4k]=(4k2+12) y 2+12(k-1)y+16(1-k)為完全平方式
∴ㄓy=0即[12(k-1)]2-4(4k2+12)×16(1-k)=0
(k-1)(16k2+9k+39)=0,∴k=1
∴存在k=1使得方程表示直線。
5、利用根分佈
例5、 僅表示一條直線，求此時k的取值範圍。
分析：將方程視作 的一元二次方程，則方程表示一條直線的充要條件是關於 的一元二次方程僅有一個非負實數根。
解：令 =t(t≥0)方程可化為t2-3t+k+3=0 (t≥0) (*)
∴方程（*）在 上有且僅有一個非負實根。
ㄓ=0
∴ 或k +3
∴ .
說明：方程（*）在 上有且僅有一個非負實根的問題，也可用數形結合法來解，這裡不再贅述。
我們知道，二元一次方程表示的圖形是直線，但一些二元二次方程和無理方程在一定的條件下，它也可以表示一條直線或兩條直線，其解法的基本思想是將方程化歸為二元一次方程，但其方法較為靈活，故筆者將透過一些例項來提供解決此類問題的一些常見解法，以助同學們一臂之力。
1、直接分解法
例1、證明：方程x2-xy-6y2+3x-9y=0表示兩相交直線。
分析：只需將方程左邊分解成兩個二元一次方程即可。
證明：原方程可化為(x-3y)(x+2y)+3(x-3y)=0
(x-3y)(x+2y+3)=0
∴x-3y=0 或x+2y+3=0
∴方程表示兩條直線
又∵它們的斜率不相等，∴兩直線相交。
2、配方法
例2、當k為何值時，方程x2-y2+2kx-4y+3k=0表示直線。
分析 ：對x,y 分別進行配方，把方程化為(x-m)2-(y-n)2=c的形式，令c=0即可表示直線。
解：方程可化為 (x+k)2-(y+2)2=k2-3k-4
令k2-3k-4=0,得k=4或k=-1
即當k=4或-1 時，方程表示直線。
3、待定係數法
例3、若方程x2-2xy-3y2-kx+(k+6)y-2=0表示直線，試確定k 的值。
分析 ：方程中的二次項可分解為(x-3y)(x+y),所以，方程欲表示直線，方程左邊只需分解成(x-3y+m)(x+y+n)=0
即(x-3y)(x+y)+m(x+y)+n(x-3y)+mn=0
(x-3y)(x+y)+(m+n)x+(m-3n)y+mn=0
m+n=-k
m-3n=k+6
mn=-2
m=2
n=-1
k=1
m=1
n=-2
k=-1
∴
∴ k=±1.
4、判別式法
例4、是否存在實數k，使方程x2+2kxy-3y2+4x+(k+3)y+4k=0表示直線，若能，試確定k的值；若不能，請說明理由。
分析：將方程視作x的一元二次方程，即Ax2+Bx+C=0,欲使方程表示直線，只需ㄓx是完全平方式，請注意，它是關於y的二次三項式，而要使y的二次三項式為完全平方，只需ㄓy=0即可。
解：方程可化為x2+(2ky+4)x-3y2+（k+3）y+4k=0
∴ㄓx=(2ky+4)2-4[-3y2+(k+3)y+4k]=(4k2+12) y 2+12(k-1)y+16(1-k)為完全平方式
∴ㄓy=0即[12(k-1)]2-4(4k2+12)×16(1-k)=0
(k-1)(16k2+9k+39)=0,∴k=1
∴存在k=1使得方程表示直線。
5、利用根分佈
例5、 僅表示一條直線，求此時k的取值範圍。
分析：將方程視作 的一元二次方程，則方程表示一條直線的充要條件是關於 的一元二次方程僅有一個非負實數根。
解：令 =t(t≥0)方程可化為t2-3t+k+3=0 (t≥0) (*)
∴方程（*）在 上有且僅有一個非負實根。
ㄓ=0
∴ 或k +3
∴ .
說明：方程（*）在 上有且僅有一個非負實根的問題，也可用數形結合法來解，這裡不再贅述。