由於偏導數在點M(x,y)連續,0

△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)

=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)]

=f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y

=[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y

=f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y

而||≤|α|+|β|,

所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),

即f(x,y)在點M可微。

擴充套件資料

設函式y = f(x)在某區間內有定義，x0及x0+△x在這區間內，若函式的增量Δy = f(x0 + Δx) f(x0)可表示為Δy = AΔx + o(Δx)，其中A是不依賴於△x的常數， o(Δx)是△x的高階無窮小，則稱函式y = f(x)在點x0是可微的。

AΔx叫做函式在點x0相應於自變數增量△x的微分，記作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自變數改變數△x的線性函式，dy與△y的差是關於△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。

得出： 當△x→0時，△y≈dy。 導數的記號為：(dy)/(dx)=f′(X)，我們可以發現，它不僅表示導數的記號，而且還可以表示兩個微分的比值（把△x看成dx，即：定義自變數的增量等於自變數的微分），還可表示為dy=f′(X)dX。