之前在 這個答案 挖了一個坑，這裡來填坑。
先明確下，中值定理應該指的是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
連續， 可導
下面解釋下，為什麼只能用 連續， 可導。
1 連續， 可導
這種情況會縮小中值定理的適用範圍：
上面就是 連續，但只有 可導的函式（在端點處，導數震盪），但是依然可以使用中值定理。
還有一個原因我覺得也比較重要， 可導其實是一個不太好的說法。在同濟大學教材裡面說， 可導在端點處只要求單邊可導，這會導致一些邏輯上的麻煩：
比如 可導，但是可能 點不可導，又比如 ， 可導，但是可能 不可導。
所以我們儘量用 可導，這往往也夠用了（連續卻不會，想想為什麼？感謝@張無忌指正。）。
2 連續， 可導
這是正確的表達形式，就不贅述了。
3 連續， 可導
可導那麼一定意味著 連續，所以 連續相當於沒有說，這個條件等同於第一種情況： 連續， 可導。
4 連續， 可導
這可能意味這下列的情況：
上圖端點是間斷的，很顯然不能運用中值定理。
上圖函式無界，中值定理要求函式在端點處有定義，所以也沒有辦法運用中值定理。
說句題外話，我其實一度對 連續的情況下的 可導產生過懷疑，為什麼我會懷疑它在 上的可導性呢？因為如果 有後繼數 ，那麼根據導數的定義， 只有右側導數（左側不連續或者不存在）。哪怕忽略 的問題，就認為單側導數是OK的，但是 的後繼數 呢？其左側鄰域只有一個點，這還能算鄰域嗎？這個問題導致我寫了 這個回答 ，有興趣可以看一下。
之前在 這個答案 挖了一個坑，這裡來填坑。
先明確下，中值定理應該指的是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
連續， 可導
連續， 可導
連續， 可導
連續， 可導
下面解釋下，為什麼只能用 連續， 可導。
1 連續， 可導
這種情況會縮小中值定理的適用範圍：
上面就是 連續，但只有 可導的函式（在端點處，導數震盪），但是依然可以使用中值定理。
還有一個原因我覺得也比較重要， 可導其實是一個不太好的說法。在同濟大學教材裡面說， 可導在端點處只要求單邊可導，這會導致一些邏輯上的麻煩：
比如 可導，但是可能 點不可導，又比如 ， 可導，但是可能 不可導。
所以我們儘量用 可導，這往往也夠用了（連續卻不會，想想為什麼？感謝@張無忌指正。）。
2 連續， 可導
這是正確的表達形式，就不贅述了。
3 連續， 可導
可導那麼一定意味著 連續，所以 連續相當於沒有說，這個條件等同於第一種情況： 連續， 可導。
4 連續， 可導
這可能意味這下列的情況：
上圖端點是間斷的，很顯然不能運用中值定理。
上圖函式無界，中值定理要求函式在端點處有定義，所以也沒有辦法運用中值定理。
說句題外話，我其實一度對 連續的情況下的 可導產生過懷疑，為什麼我會懷疑它在 上的可導性呢？因為如果 有後繼數 ，那麼根據導數的定義， 只有右側導數（左側不連續或者不存在）。哪怕忽略 的問題，就認為單側導數是OK的，但是 的後繼數 呢？其左側鄰域只有一個點，這還能算鄰域嗎？這個問題導致我寫了 這個回答 ，有興趣可以看一下。