當x不等於零時g(x)=f(x)/x，顯然f(x)具有二階連續導數，1/x也是可導的，
故g′(x)=[xf′(x)-f(x)]/x^2,
當x不等於0時，由於f(x)具有二階連續導數，故f′(x)也是連續的，顯然1/x^2也是連續的，由連續的可加性及可乘性知，當x不等於0時，g的導函式是連續的；
當x=0時g(x)=f′（0），則有
lim(x→0)g(x)
=lim(x→0)f(x)/x(洛必達法則)
=lim(x→0)f′(x)
=f′(0)
故g(x)在x=0處連續，下面證明其導數在x=0處存在且連續：
g′(0)=lim(△x→0)[g(△x)-g(0)]/△x
=lim(△x→0)[f(△x)/△x-f′(0)]/△x
=lim(△x→0)[f(△x)-△x*f′(0)]/△x^2(洛必達法則)
=lim(△x→0)[f′(△x)-f′(0)]/[2△x]
=1/2f′′(0)
lim(x→0)g′(x)
=lim(x→0)[xf′(x)-f(x)]/x^2
=lim(x→0)[f′(x)/x-f(x)/x^2](洛必達法則)
=lim(x→0)[f′(x)/x-f′(x)/2x]
=lim(x→0)1/2f′′(x)
因此g′(0)=lim(x→0)g′(x)
故g(x)在負無窮到正無窮的導函式連續
當x不等於零時g(x)=f(x)/x，顯然f(x)具有二階連續導數，1/x也是可導的，
故g′(x)=[xf′(x)-f(x)]/x^2,
當x不等於0時，由於f(x)具有二階連續導數，故f′(x)也是連續的，顯然1/x^2也是連續的，由連續的可加性及可乘性知，當x不等於0時，g的導函式是連續的；
當x=0時g(x)=f′（0），則有
lim(x→0)g(x)
=lim(x→0)f(x)/x(洛必達法則)
=lim(x→0)f′(x)
=f′(0)
故g(x)在x=0處連續，下面證明其導數在x=0處存在且連續：
g′(0)=lim(△x→0)[g(△x)-g(0)]/△x
=lim(△x→0)[f(△x)/△x-f′(0)]/△x
=lim(△x→0)[f(△x)-△x*f′(0)]/△x^2(洛必達法則)
=lim(△x→0)[f′(△x)-f′(0)]/[2△x]
=1/2f′′(0)
lim(x→0)g′(x)
=lim(x→0)[xf′(x)-f(x)]/x^2
=lim(x→0)[f′(x)/x-f(x)/x^2](洛必達法則)
=lim(x→0)[f′(x)/x-f′(x)/2x]
=lim(x→0)1/2f′′(x)
=1/2f′′(0)
因此g′(0)=lim(x→0)g′(x)
故g(x)在負無窮到正無窮的導函式連續