證明一:設c是f(x)在[0,1]上的一個最小值點,則0<c<1,f(c)=-1,f"(c)=0。
構造輔助函式
g(x)=f(x)+4x(1-x),則g(x)在[0,1]上二階可導,且
g"(x)=f"(x)+4-8x.
g""(x)=f""(x)-8.
f""(x)=g""(x)+8.
g(0)=g(1)=0.
g(c)=f(c)+4x(1-x)=-1+4x(1-x)=-(2x-1)^2≤0.
1.若g"(c)≥0,則在(0,c)上g"(c)>0恆成立。因此g(x)在[0,c]上嚴格遞增,從而
g(c)>g(0)=0.
這與g(c)≤0矛盾。
2.若g"(c)<0,則在(c,1)上g"(c)<0恆成立。因此g(x)在[c,1]上嚴格遞減,從而
g(c)>g(1)=0.
也就是說,反設不成立,即存在t∈(0,1)使得f""(t)≥8。
證明二:由條件f(0)=f(1)=0,，根據羅爾定理，存在ξ∈(0,1)，滿足f"(ξ)=0。
令F(x) = (1-x)²f"(x)，則F(η) = F(1) = 0
再次運用它羅爾定理 存在ξ∈(η,1)，使F"(ξ)=0，即(1-ξ)²f""(ξ)-2(1-ξ)f"(ξ)=0
由於ξ<1，所以1-ξ不等於0，所以(1-ξ)f""(ξ)-2f"(ξ)=0，即f""(ξ)=2f"(ξ)/(1-ξ).
證畢
證明一:設c是f(x)在[0,1]上的一個最小值點,則0<c<1,f(c)=-1,f"(c)=0。
構造輔助函式
g(x)=f(x)+4x(1-x),則g(x)在[0,1]上二階可導,且
g"(x)=f"(x)+4-8x.
g""(x)=f""(x)-8.
f""(x)=g""(x)+8.
g(0)=g(1)=0.
g(c)=f(c)+4x(1-x)=-1+4x(1-x)=-(2x-1)^2≤0.
1.若g"(c)≥0,則在(0,c)上g"(c)>0恆成立。因此g(x)在[0,c]上嚴格遞增,從而
g(c)>g(0)=0.
這與g(c)≤0矛盾。
2.若g"(c)<0,則在(c,1)上g"(c)<0恆成立。因此g(x)在[c,1]上嚴格遞減,從而
g(c)>g(1)=0.
這與g(c)≤0矛盾。
也就是說,反設不成立,即存在t∈(0,1)使得f""(t)≥8。
證明二:由條件f(0)=f(1)=0,，根據羅爾定理，存在ξ∈(0,1)，滿足f"(ξ)=0。
令F(x) = (1-x)²f"(x)，則F(η) = F(1) = 0
再次運用它羅爾定理 存在ξ∈(η,1)，使F"(ξ)=0，即(1-ξ)²f""(ξ)-2(1-ξ)f"(ξ)=0
由於ξ<1，所以1-ξ不等於0，所以(1-ξ)f""(ξ)-2f"(ξ)=0，即f""(ξ)=2f"(ξ)/(1-ξ).
證畢