從相似變換開始講吧。A=PNP-1如果我們取N是對角陣，那主對角線上的三個數就是三個特徵值，而P矩陣就是特徵向量的排列。隨便給一個向量x，有Ax=PNP-1x左邊我們都知道是線性變換，而右邊怎麼看呢？首先我們看P-1xP的每一個列向量都是一個特徵向量，也就是說P構成線性空間的一組基。那麼P逆x即將x變換為特徵向量為基表示的座標。為便於直觀理解，特殊的，如果P為單位正交陣(即幾個特徵向量互相垂直且模長為1)，那麼P逆等於P轉置，即P逆是特徵向量排列出來的，每一行元素其實是一個特徵向量。由於特徵向量無所謂尺度，我們把它的模長歸一化一下。這樣，P逆x相當於把每一個特徵向量與x做內積。由於特徵向量模長為1，內積得到的實際上是x在特徵向量上的投影長度。整體而言，這一步得到的是x向量在特徵向量座標系下面的座標值。再乘中間的對角矩陣N，實際上是把剛才得到的新座標在每一個特徵向量上放大或者縮小特徵值倍。最後一步，再乘P，相當於把座標還原到原來的座標系下面。所以說，矩陣代表一個線性變換(在某幾個方向放大或者縮小)。特徵向量代表這個線性變換的幾個方向。特徵值代表放大或者縮小的倍數。以上。私以為這樣理解是直觀的。(這個答案已經和三個月前的回答很不一樣了，當初啥都不懂強答的，後來學了點影象的知識理解深刻了以後重新回答了一下。)
從相似變換開始講吧。A=PNP-1如果我們取N是對角陣，那主對角線上的三個數就是三個特徵值，而P矩陣就是特徵向量的排列。隨便給一個向量x，有Ax=PNP-1x左邊我們都知道是線性變換，而右邊怎麼看呢？首先我們看P-1xP的每一個列向量都是一個特徵向量，也就是說P構成線性空間的一組基。那麼P逆x即將x變換為特徵向量為基表示的座標。為便於直觀理解，特殊的，如果P為單位正交陣(即幾個特徵向量互相垂直且模長為1)，那麼P逆等於P轉置，即P逆是特徵向量排列出來的，每一行元素其實是一個特徵向量。由於特徵向量無所謂尺度，我們把它的模長歸一化一下。這樣，P逆x相當於把每一個特徵向量與x做內積。由於特徵向量模長為1，內積得到的實際上是x在特徵向量上的投影長度。整體而言，這一步得到的是x向量在特徵向量座標系下面的座標值。再乘中間的對角矩陣N，實際上是把剛才得到的新座標在每一個特徵向量上放大或者縮小特徵值倍。最後一步，再乘P，相當於把座標還原到原來的座標系下面。所以說，矩陣代表一個線性變換(在某幾個方向放大或者縮小)。特徵向量代表這個線性變換的幾個方向。特徵值代表放大或者縮小的倍數。以上。私以為這樣理解是直觀的。(這個答案已經和三個月前的回答很不一樣了，當初啥都不懂強答的，後來學了點影象的知識理解深刻了以後重新回答了一下。)