如果題主問的是如何判斷任意無理數的無理數次方是否為有理數或是無理數？那麼這個問題是非常困難的，尤其是當這些無理數是超越數的時候，現在依然沒有一般性的判斷方法(實際上我們能確定的得還非常少)。與此相關的有兩個比較重要的定理，我簡單介紹一下。
1、格爾豐德-施耐德定理：如果 和 是代數數，其中 且 ， 不是有理數，那麼 的值一定是超越數。根據該定理立刻可以知道： 為超越數， 亦為超越數。這個定理回答了著名的希爾伯特第七問題，以上幾個數也是希爾伯特第七問題裡提及的幾個數。這裡要特別的提醒的是無理數的無理數次方未必是無理數，比如上面提到的 ，它的 次方為： 。
2、林德曼-魏爾斯特拉斯定理：如果 是代數數，在有理數 內線性獨立的，那麼 在有理數 內是線性獨立的。或者簡單的說如果 是不同的代數數，那麼 在代數數範圍內是線性獨立的。這個定理的直接推論是： 和 是超越數(證明略，以後有空再補充)。補充：1、證明 為超越數：取 那麼 ，即 在代數數範圍內是線性獨立的，故 為超越數。同理，我們可知，當 為代數數時， 均為超越數。2、證明 為超越數：反證，設 為代數數，那麼 亦為代數數，根據上一個證明的結論，那麼 為超越數，這與 相矛盾，故 為超越數。（ 這個例子也說明一個超越數的超越數次方未必就是超越數，它完全可以是有理數。）
但是更多的，例如 尚未證明是有理數、代數無理數或是超越數。
如果題主感興趣可以學習一下關於數的無理性，無理測度，超越性方面的更多知識，但個人認為這是一個非常艱深的領域，我們知道的還太少。
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構造方程 ,顯然這個方程的兩個根為： ,這個方程即為： 。若 和 均為有理數，那麼該二次方程為有理數係數方程，其根必然為代數數，這與 和 為超越數相矛盾，故 和 中至少有一個是無理數。
沒有想到這個回答居然有不少人在看，那我再補充一些內容。
先介紹格爾豐德-施耐德定理的等價表示：如果 和 是代數數，其中 且 ，那麼 要麼是有理數要麼是超越數。現在我們來證明 為超越數。還是反證法，設 為整數，那麼 ,因為 與 互素，且 為整數，易知上式等號不能成立，故 不為有理數，故 為超越數。所以一個有理數的無理數次方未必為無理數，比如： 。所以在應用格爾豐德-施耐德定理時一定要注意，要保證 是超越數（是代數數，且 且 ）， 只能是代數無理數，若 為超越數，則 不一定是超越數，它完全可以是有理數。
如果題主問的是如何判斷任意無理數的無理數次方是否為有理數或是無理數？那麼這個問題是非常困難的，尤其是當這些無理數是超越數的時候，現在依然沒有一般性的判斷方法(實際上我們能確定的得還非常少)。與此相關的有兩個比較重要的定理，我簡單介紹一下。
1、格爾豐德-施耐德定理：如果 和 是代數數，其中 且 ， 不是有理數，那麼 的值一定是超越數。根據該定理立刻可以知道： 為超越數， 亦為超越數。這個定理回答了著名的希爾伯特第七問題，以上幾個數也是希爾伯特第七問題裡提及的幾個數。這裡要特別的提醒的是無理數的無理數次方未必是無理數，比如上面提到的 ，它的 次方為： 。
2、林德曼-魏爾斯特拉斯定理：如果 是代數數，在有理數 內線性獨立的，那麼 在有理數 內是線性獨立的。或者簡單的說如果 是不同的代數數，那麼 在代數數範圍內是線性獨立的。這個定理的直接推論是： 和 是超越數(證明略，以後有空再補充)。補充：1、證明 為超越數：取 那麼 ，即 在代數數範圍內是線性獨立的，故 為超越數。同理，我們可知，當 為代數數時， 均為超越數。2、證明 為超越數：反證，設 為代數數，那麼 亦為代數數，根據上一個證明的結論，那麼 為超越數，這與 相矛盾，故 為超越數。（ 這個例子也說明一個超越數的超越數次方未必就是超越數，它完全可以是有理數。）
但是更多的，例如 尚未證明是有理數、代數無理數或是超越數。
如果題主感興趣可以學習一下關於數的無理性，無理測度，超越性方面的更多知識，但個人認為這是一個非常艱深的領域，我們知道的還太少。
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構造方程 ,顯然這個方程的兩個根為： ,這個方程即為： 。若 和 均為有理數，那麼該二次方程為有理數係數方程，其根必然為代數數，這與 和 為超越數相矛盾，故 和 中至少有一個是無理數。
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沒有想到這個回答居然有不少人在看，那我再補充一些內容。
先介紹格爾豐德-施耐德定理的等價表示：如果 和 是代數數，其中 且 ，那麼 要麼是有理數要麼是超越數。現在我們來證明 為超越數。還是反證法，設 為整數，那麼 ,因為 與 互素，且 為整數，易知上式等號不能成立，故 不為有理數，故 為超越數。所以一個有理數的無理數次方未必為無理數，比如： 。所以在應用格爾豐德-施耐德定理時一定要注意，要保證 是超越數（是代數數，且 且 ）， 只能是代數無理數，若 為超越數，則 不一定是超越數，它完全可以是有理數。