AA*=|A|E；|AA*|=|A|^n

把|A|提到E裡面去，會發現從左上到右下的一列數都是|A|，所以|A|E=|A|^n。

矩陣行列式(determinant of a matrix)是指矩陣的全部元素構成的行列式，設A=(aij)是數域P上的一個n階矩陣，則所有A=(aij)中的元素組成的行列式稱為矩陣A的行列式，記為|A|或det(A)。

若A，B是數域P上的兩個n階矩陣，k是P中的任一個數，則|AB|=|A||B|，|kA|=kn|A|，|A*|=|A|n-1，其中A*是A的伴隨矩陣；若A是可逆矩陣，則|A-1|=|A|-1。

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相關定理

定理1 設A為一n×n矩陣，則det(AT)=det(A)[2]。

證 對n採用數學歸納法證明。顯然，因為1×1矩陣是對稱的，該結論對n=1是成立的。假設這個結論對所有k×k矩陣也是成立的，對(k+1)×(k+1)矩陣A，將det(A)按照A的第一行展開，我們有：

det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1,k+1det(M1,k+1)。

定理2 設A為一n×n三角形矩陣。則A的行列式等於A的對角元素的乘積。

根據定理1，只需證明結論對下三角形矩陣成立。利用餘子式展開和對n的歸納法，容易證明這個結論。