用初中相似三角形知識很容易證,沒有必要用到向量.向量一般是證垂直之類問題.
有個挺有用的公式：(AB,CD)+(BC,AD)+(CA,BD)=0
（這裡AB CD之類都是向量，(AB,CD)是AB CD點乘或者說是內積）
證明比較簡單，用些什麼AC=AB+BC之類的東西搗一搗就完了。
用這個來證平面的托米勒定理就不難了，由於(AB,CD)=|AB||CD|cos(AB,CD)
用四點共圓的條件就可以把那些cos去掉（注意符號），就得到了題目的結論。
廣義托勒密定理:凸四邊形ABCD的兩組對邊乘積的和大於等於它的兩條對角線的乘積.
在四邊形ABCD中,連線AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD
則三角形ABE和三角形ACD相似
所以 BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD (1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而角BAC=角DAE
所以三角形ABC和三角形AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB*CE+AD*BC
又因為BE+ED>=BD
所以命題得證
當且僅當E點落線上段BD上時,等號成立,此時ABCD內接於圓.
用初中相似三角形知識很容易證,沒有必要用到向量.向量一般是證垂直之類問題.
有個挺有用的公式：(AB,CD)+(BC,AD)+(CA,BD)=0
（這裡AB CD之類都是向量，(AB,CD)是AB CD點乘或者說是內積）
證明比較簡單，用些什麼AC=AB+BC之類的東西搗一搗就完了。
用這個來證平面的托米勒定理就不難了，由於(AB,CD)=|AB||CD|cos(AB,CD)
用四點共圓的條件就可以把那些cos去掉（注意符號），就得到了題目的結論。
廣義托勒密定理:凸四邊形ABCD的兩組對邊乘積的和大於等於它的兩條對角線的乘積.
在四邊形ABCD中,連線AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD
則三角形ABE和三角形ACD相似
所以 BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD (1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而角BAC=角DAE
所以三角形ABC和三角形AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB*CE+AD*BC
又因為BE+ED>=BD
所以命題得證
當且僅當E點落線上段BD上時,等號成立,此時ABCD內接於圓.