一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。） 在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 因為△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE 所以△ABC∽△AED相似. BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因為BE+ED≥BD （僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”） 所以命題得證 複數證明 用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C、D的複數，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到複數恆等式： (a ?? b)(c ?? d) + (a ?? d)(b ?? c) = (a ?? c)(b ?? d) ，兩邊取模，運用三角不等式得。 等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。 四點不限於同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、 設ABCD是圓內接四邊形。 在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一點K，使得∠ABK = ∠CBD； 因為∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 兩式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。 三、 托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等於兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內接四邊形ABCD，求證：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 證明：如圖1，過C作CP交BD於P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC． 編輯本段推論 1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。 2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接於一圓、 編輯本段推廣 托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小於另外一組對邊的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。 簡單的證明：複數恆等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模， 得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 注意： 1.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。 2.四點不限於同一平面。 尤拉定理：在一條線段上AD上，順次標有B、C兩點，則AD·BC+AB·CD=AC·BD你現在是高中吧。。以後這個公式可以直接用 不用推出的。。
一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。） 在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 因為△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE 所以△ABC∽△AED相似. BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因為BE+ED≥BD （僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”） 所以命題得證 複數證明 用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C、D的複數，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到複數恆等式： (a ?? b)(c ?? d) + (a ?? d)(b ?? c) = (a ?? c)(b ?? d) ，兩邊取模，運用三角不等式得。 等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。 四點不限於同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、 設ABCD是圓內接四邊形。 在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一點K，使得∠ABK = ∠CBD； 因為∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 兩式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。 三、 托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等於兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內接四邊形ABCD，求證：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 證明：如圖1，過C作CP交BD於P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC． 編輯本段推論 1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。 2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接於一圓、 編輯本段推廣 托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小於另外一組對邊的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。 簡單的證明：複數恆等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模， 得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 注意： 1.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。 2.四點不限於同一平面。 尤拉定理：在一條線段上AD上，順次標有B、C兩點，則AD·BC+AB·CD=AC·BD你現在是高中吧。。以後這個公式可以直接用 不用推出的。。