在圓周上的n個點兩兩連線，最多可以把圓分成幾份？（不要問我為什麼會突然想到這個問題……）於是我就拿出紙和筆開始畫起來——一個點顯然連不了任何直線，所以整個圓還是1份；兩個點之間可以連一條線，這樣圓就被分成了2份；三個點可以連成一個三角形，圓被分成了4份；四個點兩兩相連把圓分成了8份。啊，這個規律似乎已經很明顯了，1、2、4、8，那麼下一個肯定是16嘛！果不其然，五個點兩兩連線，圓被分成了16份。於是，我覺得自己已經解決了這個問題，直到……我決定再加一個點。為什麼是31份？？？？我又數了一遍，還是31份，並且在圓內也沒有出現三線共點的情況……這是什麼情況？？？？於是我又加了一個點：七個點，57份。啊，這下跟2的冪徹底沒有關係了。那規律到底是啥呢？在與幾個朋友一起討論了數個小時之後，我們找到了答案。為了分析這個問題，我們不妨先好好審視一下其中的一條直線，看看它是怎樣把圓分割開的：以上圖中突出顯示的這條線為例，假設它是從左往右畫上去的，我們重現一下畫圖的過程：從左端點開始，慢慢向右畫，每當它碰到一根其他的直線段時，它就把某一塊區域徹底地分成了兩份，於是總份數就多了一；而當它最後抵達圓周右側上的點時，總份數又多了一。也就是說，圓內部的每一個交點都使得總份數增加了一；除此之外，每一根直線段最後抵達圓周時，總份數也增加了一。所以，總份數應該是 1 +『圓內部的交點數量』+『直線段的數量』。為什麼會有一個1？因為圓本身最開始就有一份啊。我們先來求直線段的數量——這個很簡單，由於n個點中每兩個點之間都可以連一條直線段，所以這就相當於是在求『n個點中選2個點有幾種選法』，也就是.那圓內部的交點數量怎麼求呢？注意，雖然每個交點都是由兩條直線段相交而成的，但我們並不能把這個問題簡化為『m條直線段中選2條直線段有幾種選法』，因為並不是每兩條直線段都相交的。那怎麼辦？（再往下繼續看之前，大家可以自己先想一想=w=）（提示：對角線）啥意思？再放一張圖來提示一下：好了我要說答案了：我們可以把圓內部的每個交點看成是某個圓內接四邊形的對角線交點，於是在n個點中，任意四個點的組合都對應了圓內部的某個交點。所以求圓內部的交點數相當於是求『n個點中選4個點有幾種選法』，也就是.於是我們最終的公式是：啊。問題解決了……嗎？等等，我還沒回答題主的問題呢。所以說這有啥『巧合』？沒什麼巧合。至少當我在初三那年找到了上述解答之後，我覺得沒什麼巧合，問題已經解決了……直到半個月前我看到了這個影片：A Curious Pattern Indeed我真想狠狠扇自己的臉！我當年竟然沒有多問一句：為什麼當n比較小的時候，份數恰好是2的冪？而且，當n等於10時：256份！又是2的冪！為什麼？？真的只是巧了嗎？？？我非常贊同 @鬱林成森在回答中所說的：數學中所有美的巧合都有其更深刻的原因，絕不僅僅是巧合。所以說這到底是為什麼呢？原因跟這個東西有關：這不就是楊輝（帕斯卡）三角形麼？除了最左與最右的1以外，每個數都是由其左上與右上的兩個數相加得到的。這我早就知道了，可是跟這題有啥關係？啊，說得很對，楊輝三角形的構造方法確實很簡單，不過……讓我們算一算每一行的和：咦！為什麼剛好是2的冪呢？我們可以換一個角度來看楊輝三角形的構造方法：每一個數被複制了兩份，分別加進了左下角與右下角的兩個數中。所以下一行的和自然是上一行的兩倍，而由於第一行的和是1，所以每一行的和就都是2的冪啦！哦原來是這樣，好有道理！不過這跟分圓有啥關係啊？啊，這是因為，楊輝三角形還有另外一種形式：我去！這是為啥？？啊，這其實只需要證明就好了：如果我們要從n個蘋果裡選k個蘋果，那麼我們有種選法；而假設n個蘋果中有一個是壞蘋果，那麼這種選法中，選到壞蘋果的有種（要在除去壞蘋果的n-1個蘋果中選k-1個），沒選到壞蘋果的有種（要在除去壞蘋果的n-1個蘋果中選k個），所以.啊，當我把楊輝三角形寫成這種形式之後，之前分圓的公式與2的冪的關係就很緊密了！由於，所以實際上n個點情形的公式就是楊輝三角形中第n行第0、2、4列的和。（注意，我們是從0開始數的！）比如，當n=5時，份數就是第5行第0、2、4列的和：寫成之前的形式就是這樣：由於每個數都是左上和右上兩個數的和，所以這三個數的和其實就是上一行的和：而我們之前已經說過，楊輝三角形每一行的和都是2的冪，所以當n=5時，份數是2的冪。當n更小的時候，情況類似。而當n=6的時候，問題來了：寫成原形式：而此時，它們的和就不是上一行的和了：少了最右邊的一。這就是為什麼n=6時，結果是31份。而當n=10時：這三個數剛好是上一行的一半：而2的冪的一半也是2的冪，所以n=10時，份數256就是2的冪啦。這就解釋了我們之前的『巧合』=w=順帶說一句，楊輝三角形其實水很深，我們甚至可以在楊輝三角形中找到斐波那契數列，不過這裡我就不細說了。這篇回答的配圖來自於Circle Division Solution，不過我初三時的推導方法要比影片中的簡潔得多。影片裡用了尤拉公式，麻煩了不少，不過也挺有趣的。那麼就這樣=w=
在圓周上的n個點兩兩連線，最多可以把圓分成幾份？（不要問我為什麼會突然想到這個問題……）於是我就拿出紙和筆開始畫起來——一個點顯然連不了任何直線，所以整個圓還是1份；兩個點之間可以連一條線，這樣圓就被分成了2份；三個點可以連成一個三角形，圓被分成了4份；四個點兩兩相連把圓分成了8份。啊，這個規律似乎已經很明顯了，1、2、4、8，那麼下一個肯定是16嘛！果不其然，五個點兩兩連線，圓被分成了16份。於是，我覺得自己已經解決了這個問題，直到……我決定再加一個點。為什麼是31份？？？？我又數了一遍，還是31份，並且在圓內也沒有出現三線共點的情況……這是什麼情況？？？？於是我又加了一個點：七個點，57份。啊，這下跟2的冪徹底沒有關係了。那規律到底是啥呢？在與幾個朋友一起討論了數個小時之後，我們找到了答案。為了分析這個問題，我們不妨先好好審視一下其中的一條直線，看看它是怎樣把圓分割開的：以上圖中突出顯示的這條線為例，假設它是從左往右畫上去的，我們重現一下畫圖的過程：從左端點開始，慢慢向右畫，每當它碰到一根其他的直線段時，它就把某一塊區域徹底地分成了兩份，於是總份數就多了一；而當它最後抵達圓周右側上的點時，總份數又多了一。也就是說，圓內部的每一個交點都使得總份數增加了一；除此之外，每一根直線段最後抵達圓周時，總份數也增加了一。所以，總份數應該是 1 +『圓內部的交點數量』+『直線段的數量』。為什麼會有一個1？因為圓本身最開始就有一份啊。我們先來求直線段的數量——這個很簡單，由於n個點中每兩個點之間都可以連一條直線段，所以這就相當於是在求『n個點中選2個點有幾種選法』，也就是.那圓內部的交點數量怎麼求呢？注意，雖然每個交點都是由兩條直線段相交而成的，但我們並不能把這個問題簡化為『m條直線段中選2條直線段有幾種選法』，因為並不是每兩條直線段都相交的。那怎麼辦？（再往下繼續看之前，大家可以自己先想一想=w=）（提示：對角線）啥意思？再放一張圖來提示一下：好了我要說答案了：我們可以把圓內部的每個交點看成是某個圓內接四邊形的對角線交點，於是在n個點中，任意四個點的組合都對應了圓內部的某個交點。所以求圓內部的交點數相當於是求『n個點中選4個點有幾種選法』，也就是.於是我們最終的公式是：啊。問題解決了……嗎？等等，我還沒回答題主的問題呢。所以說這有啥『巧合』？沒什麼巧合。至少當我在初三那年找到了上述解答之後，我覺得沒什麼巧合，問題已經解決了……直到半個月前我看到了這個影片：A Curious Pattern Indeed我真想狠狠扇自己的臉！我當年竟然沒有多問一句：為什麼當n比較小的時候，份數恰好是2的冪？而且，當n等於10時：256份！又是2的冪！為什麼？？真的只是巧了嗎？？？我非常贊同 @鬱林成森在回答中所說的：數學中所有美的巧合都有其更深刻的原因，絕不僅僅是巧合。所以說這到底是為什麼呢？原因跟這個東西有關：這不就是楊輝（帕斯卡）三角形麼？除了最左與最右的1以外，每個數都是由其左上與右上的兩個數相加得到的。這我早就知道了，可是跟這題有啥關係？啊，說得很對，楊輝三角形的構造方法確實很簡單，不過……讓我們算一算每一行的和：咦！為什麼剛好是2的冪呢？我們可以換一個角度來看楊輝三角形的構造方法：每一個數被複制了兩份，分別加進了左下角與右下角的兩個數中。所以下一行的和自然是上一行的兩倍，而由於第一行的和是1，所以每一行的和就都是2的冪啦！哦原來是這樣，好有道理！不過這跟分圓有啥關係啊？啊，這是因為，楊輝三角形還有另外一種形式：我去！這是為啥？？啊，這其實只需要證明就好了：如果我們要從n個蘋果裡選k個蘋果，那麼我們有種選法；而假設n個蘋果中有一個是壞蘋果，那麼這種選法中，選到壞蘋果的有種（要在除去壞蘋果的n-1個蘋果中選k-1個），沒選到壞蘋果的有種（要在除去壞蘋果的n-1個蘋果中選k個），所以.啊，當我把楊輝三角形寫成這種形式之後，之前分圓的公式與2的冪的關係就很緊密了！由於，所以實際上n個點情形的公式就是楊輝三角形中第n行第0、2、4列的和。（注意，我們是從0開始數的！）比如，當n=5時，份數就是第5行第0、2、4列的和：寫成之前的形式就是這樣：由於每個數都是左上和右上兩個數的和，所以這三個數的和其實就是上一行的和：而我們之前已經說過，楊輝三角形每一行的和都是2的冪，所以當n=5時，份數是2的冪。當n更小的時候，情況類似。而當n=6的時候，問題來了：寫成原形式：而此時，它們的和就不是上一行的和了：少了最右邊的一。這就是為什麼n=6時，結果是31份。而當n=10時：這三個數剛好是上一行的一半：而2的冪的一半也是2的冪，所以n=10時，份數256就是2的冪啦。這就解釋了我們之前的『巧合』=w=順帶說一句，楊輝三角形其實水很深，我們甚至可以在楊輝三角形中找到斐波那契數列，不過這裡我就不細說了。這篇回答的配圖來自於Circle Division Solution，不過我初三時的推導方法要比影片中的簡潔得多。影片裡用了尤拉公式，麻煩了不少，不過也挺有趣的。那麼就這樣=w=