我們已經知道，若隨機變數

服從二項分佈，即有

或有

公式中p為一次試驗成功機率，則有

根據離散型隨機變數均值和方du差定義，若離散型隨機變數X的分zhi布如下圖:

則稱E(X)=x1*p1+x2*p2+...+...xi*pi+...+xn*pn為隨機bai變數X的均值或數學期望，為隨機變數X的方差。

伯努利分佈的分佈列如下圖：

則根據離散型隨機變數的均值和方差定義：

E(X)=0*(1-p)+1*p=p

D(X)=(0-E(X))2(1-p)+(1-E(X))2p=p2(1-p)+(1-p)2p=p2-p3+p3-2p2+p=p-p2=p(1-p)

對於二項分佈X~B(n,p)，X表示的是n次伯努利試驗中事件發生次數的隨機變數。用Xi表示第i次伯努利試驗中的隨機變數，那麼n次伯努利試驗總的隨機變數X可以表示成：

X=X1+X2+...+Xi+...+Xn

根據均值和方差的性質,如果兩個隨機變數X,Y相互獨立，那麼：

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

對於二項分佈X~B(n,p)，每一次伯努利試驗都相互獨立，因此：

E(X)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xi)+...+E(Xn)=p+p+...+p+...p=np

D(X)=D(X1)+D(X2)+...+D(Xi)+...+D(Xn)=p(1-p)+p(1-p)+...+p(1-p)+...+p(1-p)=np(1-p)