一條直線與雙曲線最多有2個交點，為什麼不能有3個？

證明：設直線為斜解釋方程y=kx+m,k:R,

傾斜角a:[0,pai),

a=pai/2,k不存在，x=x0,設雙曲線的方程（焦點在x軸上），x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0,)

x=x0

x^2/a^2-y^2/b^2=1

x0^2/a^2-y^2/b^2=1

x0^2/a^2-1=y^2/b^2

y^2/b^2=(x0^2-a^2)/a^2

y^2=b^2(x0^2-a^2)/a^2

y=+-b/ax(x0-a^2)^1/2

1.x0^2-a^2

2.x0^2-a^2=0,x0^2=a^2,x0=+-a,y=0,x0=-a,x=x0=-a與雙曲線的左半支相切於（-a,0),一個交點，x=x0=a,與雙曲線的有半隻相切於（a,0),一個交點，綜上所述，一個交點，

3.x0>aorx0

所以k不存在，交點個數={0,1,2}

2.a/=pai/2,k存在，a:[0,pai/2)u(pai/2,pai),

y=kx+m（1）

x^2/a^2-y^2/b^2=1（2）

把（1）代入（2） （b^2-a^2k^2)x^2-2kma^2x-a^2(m^2+b^2)=0

b^2-a^2k^2=0,k^2=b^2/a^2,k=+-b/a

1.k=b/a,2bmx=-a(m^2+b^2)

1.m=0,左邊=0，右邊=-ab^2

m/=0,x=-a(m^2+b^2)/2bm,y=-(m^2+b^2)/2m

有一個交點（-a(m^2+b^2)/2bm,-(m^2+b^2)/2m），交點個數={0,1}

2.k=-b/a,1.m=0,y=-b/ax，是雙曲線的另一條漸近線，與雙曲線沒有交點，0個交點，

m/=0,y=-b/ax+m,一個交點，（a(m^2+b^2)/2bm,-(m^2+b^2)/2m)，交點個數={0,1}

2.k/=+-b/a, （b^2-a^2k^2)x^2-2kma^2x-a^2(m^2+b^2)=0

k^2/=b^2/a^2,a^2k^2/=b^2,0/=b^2-a^2k^2,

二次項係數不等於0，是關於x的一元二次方程，

假設m>0,k=0,y=m,直線與y軸的交點（0，m)

k=b/a=tana,p=arctanb/a,看臨界點，k=0,y=m,x^2/a^2-y^2/b^2=1

x^2/a^2-m^2/b^2=1

x^2/a^2=1+m^2/b^2

x^2=a^2+a^2m^2/b^2

x=+-ax(1+m^2/b^2)^1/2=+-a/bx(b^2+m^2)^1/2,由於m>0,m^2>0,b^2+m^2>b^2,

(b^2+m^2)^1/2>b,

x1=a/b（b^2+m^2)^1/2,x2=-a/b(b^2+m^2)^1/2

x1>a>0,x20,-a

x1>0>x2,x1>x2,x1/=x2,

所以有兩個交點（a/b(b^2+m^2)^1/2,m)和（=a/b(b^2+m^2)^1/2,m)

當k=b/a時，p=arctanb/a,根據影象，與雙曲線有一個交點，

k=-b/a時，p"=pai-arctanb/a,與雙曲線有一個交點。

臨界點，0，arctanb/a,π/2,pai-arctanb/a,pai

把整個區間分成了四段，

（0，arctanb/a),2個交點

arctanb/a,1個交點

（arctanb/a,pai-arctanb/a)2個交點

pai-arctanb/a,1個交點，

（pai-arctanb/a,pai)2個交點，

綜上所述，交點個數={2,1}

所以任意情況的交點個數={0,1,2}u{0,1}u{2,1}={0,1,2}u{2,1}={0,1,2}

最多的交點個數是2個，

我已經證明完畢了。