數列通項公式直接表述了數列的本質，是給出數列的一種重要方法。數列通項公式具備兩大功能，第一，可以透過數列通項公式求出數列中任意一項；第二，可以透過數列通項公式判斷一個數是否為數列的項以及是第幾項等問題；因此，求數列通項公式是高中數學中最為常見的題型之一，它既考察等價轉換與化歸的數學思想，又能反映學生對數列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生數學素質的要素之一，因而經常滲透在高考和數學競賽中。本文分別介紹幾種常見的數列通項的求法，以期能給讀者一些啟示。
一、常規數列的通項
例1：求下列數列的通項公式
（1）2(22—1)，3(32—1)，4(42—1)，5(52—1)，…
（2）－1×2(1)，2×3(1)，－3×4(1)，4×5(1)，…
（3）3(2)，1，7(10)，9(17)，11(26)，…
解：（1）an=n(n2—1) （2）an= n（n+1）(（－1）n) （3） an=2n＋1(n2＋1)
評註：認真觀察所給資料的結構特徵，找出an與n的對應關係，正確寫出對應的表示式。
二、等差、等比數列的通項
直接利用通項公式an=a1+（n－1）d和an=a1qn－1寫通項，但先要根據條件尋求首項、公差和公比。
三、擺動數列的通項
例2：寫出數列1，－1，1，－1，…的一個通項公式。
解：an=（－1）n－1
變式1：求數列0，2，0，2，0，2，…的一個通項公式。
分析與解答：若每一項均減去1，數列相應變為－1，1，－1，1，…
故數列的通項公式為an=1+（－1）n
變式2：求數列3，0，3，0，3，0，…的一個通項公式。
分析與解答：若每一項均乘以3(2)，數列相應變為2，0，2，0，…
故數列的通項公式為an=2(3)[1+（－1）n－1 ]
變式3：求數列5，1，5，1，5，1，…的一個通項公式。
分析與解答1：若每一項均減去1，數列相應變為4，0，4，0，…
故數列的通項公式為an=1++2×3(2)[1+（－1）n－1 ]=1+3(4)[1+（－1）n－1 ]
分析與解答2：若每一項均減去3，數列相應變為2，－2，2，－2，…
故數列的通項公式為an=3+2（－1）n－1
四、迴圈數列的通項
例3：寫出數列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一個通項公式。
解：an= 10n(1)
變式1：求數列0.5，0.05，0.005，…的一個通項公式。
解：an= 10n(5)
變式2：求數列0.9，0.99，0.999，…的一個通項公式。
分析與解答：此數列每一項分別與數列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的每一項對應相加得到的項全部都是1，於是an=1－ 10n(1)
變式3：求數列0.7，0.77，0.777，0.7777，…的一個通項公式。
解：an= 9(7)（1－ 10n(1)）
例4：寫出數列1，10，100，1000，…的一個通項公式。
解：an=10n－1
變式1：求數列9，99，999，…的一個通項公式。
分析與解答：此數列每一項都加上1就得到數列10，100，1000，… 故an=10n－1。
變式2：寫出數列4，44，444，4444…的一個通項公式。
解：an= 9(4)（10n－1）
評註：平日教與學的過程中務必要對基本的數列通項公式進行過關，這就需要提高課堂教與學的效率，多加總結、反思，注意聯想與對比分析，做到觸類旁通，也就無需再害怕複雜數列的通項公式了。
五、透過等差、等比數列求和來求通項
例5：求下列數列的通項公式
（1）0.7，0.77，0.777，… （2）3，33，333，3333，…
（3）12，1212，121212，… （4）1，1+2，1+2+3，…
解：（1）an==7×=7×（0.1+0.01+0.001+…+）
=7×（10(1)+102(1)+103(1)+…+10n(1)）==9(7)（1－10n(1)）
（2）an==3×=3×（1+10+100+…+10n）=3×1－10(1－10n)=3(1)（10n－1）
（3）an==12×（1+100+10000+…+100n－1）=12×1－100(1－100n)=33(4)（102n－1）
（4）an=1+2+3+…n=2(n（n+1）)
評註：關鍵是根據資料的變化規律搞清楚第n項的資料特點。
六、用累加法求an=an－1+f（n）型通項
例6：（1）數列{an}滿足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2），求an。
（2）數列{an}滿足a1=1且an=an－1+2n(1)（n≥2），求an。
解：（1）由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－2，記f（n）=3n－2= an－an－1
則an= （an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1
=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1
=（3n－2）+[3（n－1）－2]+ [3（n－2）－2]+ …+（3×2－2）+1
=3[n+（n－1）+（n－2）+…+2]－2（n－1）+1
=3×2(（n+2）（n－1）)－2n+3=2(3n2－n)
（2）由an=an－1+2n(1)知an－an－1=2n(1)，記f（n）=2n(1)= an－an－1
則an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1
=2n(1)+2n－1(1)+2n－2(1)+…+22(1)+1=2(1)－2n(1)
評註：當f（n）=d（d為常數）時，數列{an}就是等差數列，教材對等差數列通項公式的推導其實就是用累加法求出來的。
七、用累積法求an= f（n）an－1型通項
例7:（1）已知數列{an}滿足a1=1且an=n(2（n-1）)an—1（n≥2），求an
（2）數列{an}滿足a1=2(1)且an=2n(1)an—1，求an
解：（1）由條件 an—1(an)=n(2（n－1）)，記f（n）=n(2（n－1）)
an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=f（n）f（n－1）f（n－2）…f（2）f（2）a1
=n(2（n－1）)·n－1(2（n－2）)·n－2(2（n－3）)·…3(2×2)·2(2×1)·1=n(2n－1)
（2）an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=2n(1)·2n－1(1)…22(1)·2(1)=21＋2＋…＋n(1)=2－ 2(n（n＋1）)
評註：如果f（n）=q（q為常數），則{an}為等比數列，an= f（n）an—1型數列是等比數列的一種推廣，教材中對等比數列通項公式地推導其實正是用累積法推匯出來的。
八、用待定係數法求an=Aan－1＋B型數列通項
例8:數列{an}滿足a1=1且an＋1＋2an=1，求其通項公式。
解：由已知，an＋1＋2an=1，即an=－2 an—1＋1
令an＋x=－2（an－1＋x），則an=－2 an－1－3x，於是－3x=1，故x=－3(1)
∴ an－3(1)=－2（an－1－3(1)）
故{ an－3(1) }是公比q為－2，首項為an－3(1)=3(2)的等比數列
∴an－3(1)=3(2)（－2）n－1=3(1－（－2）n)
評註：一般地，當A≠1時令an＋x=A（an－1＋x）有an=A an－1＋（A－1）x，則有
（A－1）x=B知x=A－1(B)，從而an＋A－1(B)=A（an－1+A－1(B)），於是數列{an＋A－1(B)}是首項為a1+A－1(B)、公比為A的等比數列，故an＋A－1(B)=（a1+A－1(B)）An－1，從而
an=（a1+A－1(B)）An－1－A－1(B)；特別地，當A=0時{an}為等差數列；當A≠0，B=0時，數列{an}為等比數列。
推廣：對於an=A an－1＋f（n）（A≠0且A∈R）型數列通項公式也可以用待定係數法求通項公式。
例9：數列{an}滿足a1=1且an=2an－1＋3n(1)（n≥2），求an。
解：令an＋x·3n(1)=2（an＋x·3n-1(1)）則an=2an－1+ 2x·3n-1(1)－x·3n(1)=3(5)x·3n-1(1)=5x·3n(1)
而由已知an=2an－1＋3n(1)故5x=1，則x=5(1)。故an＋5(1)·3n(1)＝2（an－1＋5(1)·3n-1(1)）
從而{an＋5(1)·3n(1)}是公比為q=2、首項為a1＋5(1)·3(1)=15(16)的等比數列。
於是an＋5(1)·3n(1)=15(16)×2n－1，則an=15(16)×2n－1－5(1)·3n(1)=15(1)（2n+3－3n－1(1)）
評註：一般情況，對條件an=Aan－1+f（n）而言，可設an+g（n）=A[an－1+g（n－1）]，則有Ag（n－1）－g（n）=f（n），從而只要求出函式g（n）就可使數列{ an+g（n）}為等比數列，再利用等比數列通項公式求出an。值得注意的是an+g（n）與an－1+g（n－1）中的對應關係。特別地，當f（n）=B（B為常數）時，就是前面敘述的例8型。
這種做法能否進一步推廣呢？對於an=f（n）an－1+g（n）型數列可否用待定係數法求通項公式呢？
我們姑且類比做點嘗試：令an+k（n）=f（n）[an－1+k（n－1）]，展開得到
an =f（n）an－1+f（n）k（n－1）－k（n），從而f（n）k（n－1）－k（n）= g（n），理論上講，透過這個等式k（n）可以確定出來，但實際操作上，k（n）未必能輕易確定出來，請看下題：
數列{an}滿足a1=1且an=2n(n)an－1+n+1(1)，求其通項公式。
在這種做法下得到2n(n)k（n－1）－k（n）=n+1(1)，顯然，目前我們用高中數學知識還無法輕易地求出k（n）來。
九、透過Sn求an
例10：數列{an}滿足an =5Sn－3，求an。
解：令n=1，有a1=5an－3，∴a1=4(3)。由於an =5Sn－3………①
則 an-1 =5 Sn-1－3………②
①－②得到an－an-1=5（Sn－Sn-1） ∴an－an－1 =5an
故an=－4(1)an-1，則{an}是公比為q=－4(1)、首項an=4(3)的等比數列，則an=4(3)（－4(1)）n-1
評註：遞推關係中含有Sn，通常是用Sn和an的關係an=Sn－Sn－1（n≥2）來求通項公式，具體來說有兩類：一是透過an=Sn－Sn－1將遞推關係揭示的前n項和與通項的關係轉化為項與項的關係，再根據新的遞推關係求出通項公式；二是透過an=Sn－Sn－1將遞推關係揭示的前n項和與通項的關係轉化為前n項和與前n－1項和的關係，再根據新的遞推關係求出通項公式
十、取倒數轉化為等差數列
例11：已知數列{an}滿足a1=1且a
n+1=
an+2(2an)，求an。
解：由a
an+2(2an)有 an+1(1)= 2an(an+2)= 2(1)+an(1) 即an+1(1)－an(1)=2(1)
所以，數列{an(1)}是首項為a1(1)=1、公差為d=2(1)的等差數列
則an(1)=1+（n－1）2(1)=2(n+1) 從而an=n+1(2)
評註：注意觀察和分析題目條件的結構特點，對所給的遞推關係式進行變形，使與所求數列相關的數列（本例中數列{an(1)}）是等差或等比數列後，只需解方程就能求出通項公式了。
十一、建構函式模型轉化為等比數列
例12：已知數列{an}滿足a1=3且a
（an－1）2+1，求an。
解：由條件a
（an－1）2+1得a
n+1－1=
（an－1）2
兩邊取對數有lg（a
n+1－1）=lg（（an－1）2）=2lg（an－1） 即
故數列{ lg（an－1）}是首項為lg（a1－1）=lg2、公比為2的等比數列
所以，lg（an－1）=lg2·2n－1=lg
則an－1= 即an=+1
評註：透過構造對數函式達到降次的目的，使原來的遞推關係轉化為等比數列進行求。
十二、數學歸納法
例13：數列{an}滿足a1=4且a
n=4－
an－1(4)（n≥2），求an。
解：透過遞推關係求出數列前幾項如下
a1=4=2+1(2) a2=4－
a1(4)=3=2+2(2) a3=4－
a2(4)=3(8)=2+3(2)
a4=4－
a3(4)=2(5)=2+4(2) a5=4－
a4(4)=5(12)=2+5(2) a6=4－
a5(4)=3(7)=2+6(2)
猜想：通項公式為an=2+n(2)。下用歸納法給出證明
顯然，當n=1時，a1=4=2+1(2)，等式成立
假設當n=k時，等式成立，即ak=2+k(2)
則當n=k+1時，a
k+1=4－
ak(4)=4－
k(2)) k(2)=4－k+1(2k)=2+2－k+1(2k)=2+k+1(2)
由歸納法原理知，對一切n∈N+都有an=2+n(2)。
評註：先根據遞推關係求出前幾項，觀察資料特點，猜想、歸納出通項公式，再用數學歸納法給出證明。
十三、綜合應用
例14：已知各項為正的數列{a<br>n}滿足a1=1且a
n2=a
n－12+2（n≥2），求an。
n－12+2知a
n2－a
n－12=2
則數列{a<br>n2}是公差為2、首項為a
12=1的等差數列。
故 a
n2=1+2（n－1）=2n－1 即an=
例15：數列{a<br>n}滿足a1=a2=5且a
n+1=a
n+6a
n－1（n≥2），求an。
解：設a
n+1+λa
n=μ（a
n+λa
n－1），則a
n+1=（μ－λ）a
n+μλa
n－1
而a
n－1 則 解得或
當λ=2且μ=3時a
n+1+2a
n=3（a
n+2a
n－1），即
n, a
n－1) =3
則數列{a<br>n+2a<br>n－1}是公比為3、首項為a
2+2a
1=15的等比數列。
於是，a
n－1=15×3n－1=5×3n 則a
n=－2a
n－1+5×3n
令a
n+x·3n =－2（a
n－1+x·3n－1 ） 則a
n－1－x·3n 故x=－1
n－3n =－2（a
n－1－3n－1 ）
從而{a<br>n－3n }是公比為－2、首項為a
1－3=2的等比數列。
所以，a
n－3n =2×（－2）n－1 則a
n=3n+2×（－2）n－1=3n－（－2）n
當λ=－3且μ=－2時，同理可求得a
n=3n－（－2）n
於是，數列{a<br>n}的通項公式為a
數列通項公式直接表述了數列的本質，是給出數列的一種重要方法。數列通項公式具備兩大功能，第一，可以透過數列通項公式求出數列中任意一項；第二，可以透過數列通項公式判斷一個數是否為數列的項以及是第幾項等問題；因此，求數列通項公式是高中數學中最為常見的題型之一，它既考察等價轉換與化歸的數學思想，又能反映學生對數列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生數學素質的要素之一，因而經常滲透在高考和數學競賽中。本文分別介紹幾種常見的數列通項的求法，以期能給讀者一些啟示。
一、常規數列的通項
例1：求下列數列的通項公式
（1）2(22—1)，3(32—1)，4(42—1)，5(52—1)，…
（2）－1×2(1)，2×3(1)，－3×4(1)，4×5(1)，…
（3）3(2)，1，7(10)，9(17)，11(26)，…
解：（1）an=n(n2—1) （2）an= n（n+1）(（－1）n) （3） an=2n＋1(n2＋1)
評註：認真觀察所給資料的結構特徵，找出an與n的對應關係，正確寫出對應的表示式。
二、等差、等比數列的通項
直接利用通項公式an=a1+（n－1）d和an=a1qn－1寫通項，但先要根據條件尋求首項、公差和公比。
三、擺動數列的通項
例2：寫出數列1，－1，1，－1，…的一個通項公式。
解：an=（－1）n－1
變式1：求數列0，2，0，2，0，2，…的一個通項公式。
分析與解答：若每一項均減去1，數列相應變為－1，1，－1，1，…
故數列的通項公式為an=1+（－1）n
變式2：求數列3，0，3，0，3，0，…的一個通項公式。
分析與解答：若每一項均乘以3(2)，數列相應變為2，0，2，0，…
故數列的通項公式為an=2(3)[1+（－1）n－1 ]
變式3：求數列5，1，5，1，5，1，…的一個通項公式。
分析與解答1：若每一項均減去1，數列相應變為4，0，4，0，…
故數列的通項公式為an=1++2×3(2)[1+（－1）n－1 ]=1+3(4)[1+（－1）n－1 ]
分析與解答2：若每一項均減去3，數列相應變為2，－2，2，－2，…
故數列的通項公式為an=3+2（－1）n－1
四、迴圈數列的通項
例3：寫出數列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一個通項公式。
解：an= 10n(1)
變式1：求數列0.5，0.05，0.005，…的一個通項公式。
解：an= 10n(5)
變式2：求數列0.9，0.99，0.999，…的一個通項公式。
分析與解答：此數列每一項分別與數列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的每一項對應相加得到的項全部都是1，於是an=1－ 10n(1)
變式3：求數列0.7，0.77，0.777，0.7777，…的一個通項公式。
解：an= 9(7)（1－ 10n(1)）
例4：寫出數列1，10，100，1000，…的一個通項公式。
解：an=10n－1
變式1：求數列9，99，999，…的一個通項公式。
分析與解答：此數列每一項都加上1就得到數列10，100，1000，… 故an=10n－1。
變式2：寫出數列4，44，444，4444…的一個通項公式。
解：an= 9(4)（10n－1）
評註：平日教與學的過程中務必要對基本的數列通項公式進行過關，這就需要提高課堂教與學的效率，多加總結、反思，注意聯想與對比分析，做到觸類旁通，也就無需再害怕複雜數列的通項公式了。
五、透過等差、等比數列求和來求通項
例5：求下列數列的通項公式
（1）0.7，0.77，0.777，… （2）3，33，333，3333，…
（3）12，1212，121212，… （4）1，1+2，1+2+3，…
解：（1）an==7×=7×（0.1+0.01+0.001+…+）
=7×（10(1)+102(1)+103(1)+…+10n(1)）==9(7)（1－10n(1)）
（2）an==3×=3×（1+10+100+…+10n）=3×1－10(1－10n)=3(1)（10n－1）
（3）an==12×（1+100+10000+…+100n－1）=12×1－100(1－100n)=33(4)（102n－1）
（4）an=1+2+3+…n=2(n（n+1）)
評註：關鍵是根據資料的變化規律搞清楚第n項的資料特點。
六、用累加法求an=an－1+f（n）型通項
例6：（1）數列{an}滿足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2），求an。
（2）數列{an}滿足a1=1且an=an－1+2n(1)（n≥2），求an。
解：（1）由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－2，記f（n）=3n－2= an－an－1
則an= （an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1
=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1
=（3n－2）+[3（n－1）－2]+ [3（n－2）－2]+ …+（3×2－2）+1
=3[n+（n－1）+（n－2）+…+2]－2（n－1）+1
=3×2(（n+2）（n－1）)－2n+3=2(3n2－n)
（2）由an=an－1+2n(1)知an－an－1=2n(1)，記f（n）=2n(1)= an－an－1
則an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1
=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1
=2n(1)+2n－1(1)+2n－2(1)+…+22(1)+1=2(1)－2n(1)
評註：當f（n）=d（d為常數）時，數列{an}就是等差數列，教材對等差數列通項公式的推導其實就是用累加法求出來的。
七、用累積法求an= f（n）an－1型通項
例7:（1）已知數列{an}滿足a1=1且an=n(2（n-1）)an—1（n≥2），求an
（2）數列{an}滿足a1=2(1)且an=2n(1)an—1，求an
解：（1）由條件 an—1(an)=n(2（n－1）)，記f（n）=n(2（n－1）)
an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=f（n）f（n－1）f（n－2）…f（2）f（2）a1
=n(2（n－1）)·n－1(2（n－2）)·n－2(2（n－3）)·…3(2×2)·2(2×1)·1=n(2n－1)
（2）an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=2n(1)·2n－1(1)…22(1)·2(1)=21＋2＋…＋n(1)=2－ 2(n（n＋1）)
評註：如果f（n）=q（q為常數），則{an}為等比數列，an= f（n）an—1型數列是等比數列的一種推廣，教材中對等比數列通項公式地推導其實正是用累積法推匯出來的。
八、用待定係數法求an=Aan－1＋B型數列通項
例8:數列{an}滿足a1=1且an＋1＋2an=1，求其通項公式。
解：由已知，an＋1＋2an=1，即an=－2 an—1＋1
令an＋x=－2（an－1＋x），則an=－2 an－1－3x，於是－3x=1，故x=－3(1)
∴ an－3(1)=－2（an－1－3(1)）
故{ an－3(1) }是公比q為－2，首項為an－3(1)=3(2)的等比數列
∴an－3(1)=3(2)（－2）n－1=3(1－（－2）n)
評註：一般地，當A≠1時令an＋x=A（an－1＋x）有an=A an－1＋（A－1）x，則有
（A－1）x=B知x=A－1(B)，從而an＋A－1(B)=A（an－1+A－1(B)），於是數列{an＋A－1(B)}是首項為a1+A－1(B)、公比為A的等比數列，故an＋A－1(B)=（a1+A－1(B)）An－1，從而
an=（a1+A－1(B)）An－1－A－1(B)；特別地，當A=0時{an}為等差數列；當A≠0，B=0時，數列{an}為等比數列。
推廣：對於an=A an－1＋f（n）（A≠0且A∈R）型數列通項公式也可以用待定係數法求通項公式。
例9：數列{an}滿足a1=1且an=2an－1＋3n(1)（n≥2），求an。
解：令an＋x·3n(1)=2（an＋x·3n-1(1)）則an=2an－1+ 2x·3n-1(1)－x·3n(1)=3(5)x·3n-1(1)=5x·3n(1)
而由已知an=2an－1＋3n(1)故5x=1，則x=5(1)。故an＋5(1)·3n(1)＝2（an－1＋5(1)·3n-1(1)）
從而{an＋5(1)·3n(1)}是公比為q=2、首項為a1＋5(1)·3(1)=15(16)的等比數列。
於是an＋5(1)·3n(1)=15(16)×2n－1，則an=15(16)×2n－1－5(1)·3n(1)=15(1)（2n+3－3n－1(1)）
評註：一般情況，對條件an=Aan－1+f（n）而言，可設an+g（n）=A[an－1+g（n－1）]，則有Ag（n－1）－g（n）=f（n），從而只要求出函式g（n）就可使數列{ an+g（n）}為等比數列，再利用等比數列通項公式求出an。值得注意的是an+g（n）與an－1+g（n－1）中的對應關係。特別地，當f（n）=B（B為常數）時，就是前面敘述的例8型。
這種做法能否進一步推廣呢？對於an=f（n）an－1+g（n）型數列可否用待定係數法求通項公式呢？
我們姑且類比做點嘗試：令an+k（n）=f（n）[an－1+k（n－1）]，展開得到
an =f（n）an－1+f（n）k（n－1）－k（n），從而f（n）k（n－1）－k（n）= g（n），理論上講，透過這個等式k（n）可以確定出來，但實際操作上，k（n）未必能輕易確定出來，請看下題：
數列{an}滿足a1=1且an=2n(n)an－1+n+1(1)，求其通項公式。
在這種做法下得到2n(n)k（n－1）－k（n）=n+1(1)，顯然，目前我們用高中數學知識還無法輕易地求出k（n）來。
九、透過Sn求an
例10：數列{an}滿足an =5Sn－3，求an。
解：令n=1，有a1=5an－3，∴a1=4(3)。由於an =5Sn－3………①
則 an-1 =5 Sn-1－3………②
①－②得到an－an-1=5（Sn－Sn-1） ∴an－an－1 =5an
故an=－4(1)an-1，則{an}是公比為q=－4(1)、首項an=4(3)的等比數列，則an=4(3)（－4(1)）n-1
評註：遞推關係中含有Sn，通常是用Sn和an的關係an=Sn－Sn－1（n≥2）來求通項公式，具體來說有兩類：一是透過an=Sn－Sn－1將遞推關係揭示的前n項和與通項的關係轉化為項與項的關係，再根據新的遞推關係求出通項公式；二是透過an=Sn－Sn－1將遞推關係揭示的前n項和與通項的關係轉化為前n項和與前n－1項和的關係，再根據新的遞推關係求出通項公式
十、取倒數轉化為等差數列
例11：已知數列{an}滿足a1=1且a
n+1=
an+2(2an)，求an。
解：由a
n+1=
an+2(2an)有 an+1(1)= 2an(an+2)= 2(1)+an(1) 即an+1(1)－an(1)=2(1)
所以，數列{an(1)}是首項為a1(1)=1、公差為d=2(1)的等差數列
則an(1)=1+（n－1）2(1)=2(n+1) 從而an=n+1(2)
評註：注意觀察和分析題目條件的結構特點，對所給的遞推關係式進行變形，使與所求數列相關的數列（本例中數列{an(1)}）是等差或等比數列後，只需解方程就能求出通項公式了。
十一、建構函式模型轉化為等比數列
例12：已知數列{an}滿足a1=3且a
n+1=
（an－1）2+1，求an。
解：由條件a
n+1=
（an－1）2+1得a
n+1－1=
（an－1）2
兩邊取對數有lg（a
n+1－1）=lg（（an－1）2）=2lg（an－1） 即
故數列{ lg（an－1）}是首項為lg（a1－1）=lg2、公比為2的等比數列
所以，lg（an－1）=lg2·2n－1=lg
則an－1= 即an=+1
評註：透過構造對數函式達到降次的目的，使原來的遞推關係轉化為等比數列進行求。
十二、數學歸納法
例13：數列{an}滿足a1=4且a
n=4－
an－1(4)（n≥2），求an。
解：透過遞推關係求出數列前幾項如下
a1=4=2+1(2) a2=4－
a1(4)=3=2+2(2) a3=4－
a2(4)=3(8)=2+3(2)
a4=4－
a3(4)=2(5)=2+4(2) a5=4－
a4(4)=5(12)=2+5(2) a6=4－
a5(4)=3(7)=2+6(2)
猜想：通項公式為an=2+n(2)。下用歸納法給出證明
顯然，當n=1時，a1=4=2+1(2)，等式成立
假設當n=k時，等式成立，即ak=2+k(2)
則當n=k+1時，a
k+1=4－
ak(4)=4－
k(2)) k(2)=4－k+1(2k)=2+2－k+1(2k)=2+k+1(2)
由歸納法原理知，對一切n∈N+都有an=2+n(2)。
評註：先根據遞推關係求出前幾項，觀察資料特點，猜想、歸納出通項公式，再用數學歸納法給出證明。
十三、綜合應用
例14：已知各項為正的數列{a<br>n}滿足a1=1且a
n2=a
n－12+2（n≥2），求an。
解：由a
n2=a
n－12+2知a
n2－a
n－12=2
則數列{a<br>n2}是公差為2、首項為a
12=1的等差數列。
故 a
n2=1+2（n－1）=2n－1 即an=
例15：數列{a<br>n}滿足a1=a2=5且a
n+1=a
n+6a
n－1（n≥2），求an。
解：設a
n+1+λa
n=μ（a
n+λa
n－1），則a
n+1=（μ－λ）a
n+μλa
n－1
而a
n+1=a
n+6a
n－1 則 解得或
當λ=2且μ=3時a
n+1+2a
n=3（a
n+2a
n－1），即
n+1+2a
n, a
n+2a
n－1) =3
則數列{a<br>n+2a<br>n－1}是公比為3、首項為a
2+2a
1=15的等比數列。
於是，a
n+2a
n－1=15×3n－1=5×3n 則a
n=－2a
n－1+5×3n
令a
n+x·3n =－2（a
n－1+x·3n－1 ） 則a
n=－2a
n－1－x·3n 故x=－1
於是，a
n－3n =－2（a
n－1－3n－1 ）
從而{a<br>n－3n }是公比為－2、首項為a
1－3=2的等比數列。
所以，a
n－3n =2×（－2）n－1 則a
n=3n+2×（－2）n－1=3n－（－2）n
當λ=－3且μ=－2時，同理可求得a
n=3n－（－2）n
於是，數列{a<br>n}的通項公式為a
n=3n－（－2）n