求數列通項公式的基本方法：累加法遞推公式為a(n+1)=an+f(n)，且f(n)可以求和例：數列{an}，滿足a1=1/2，a(n+1)=an+1/(4n^2-1)，求{an}通項公式解：a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2∴an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))∴an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2)累乘法遞推公式為a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求積例：數列{an}滿足a(n+1)=(n+2)/n an，且a1=4，求an解：an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=2n(n+1)構造法將非等差數列、等比數列，轉換成相關的等差等比數列適當的進行運算變形例：{an}中，a1=3,a(n+1)=an^2,求an解：ln a(n+1)=ln an^2=2ln an∴{ln an}是等比數列，q=2，首項為ln3∴ln an =(2^(n-1))ln3故an=3^[2^(n-1)]倒數變換法(適用於a(n+1)=Aan/(Ban+C),其中，A、B、C∈R)例：{an}中，a1=1，a(n+1)=an/(2an+1)解：1/a(n+1)=(2an+1)/an=1/an +2∴{1/an}是等差數列，首項是1，公差是2∴an=1/(2n-1)待定係數法A.遞推式為a(n+1)=pan+q(p，q為常數)，可以構造遞推數列{an+x}為 以p為公比的等比數列，即a(n+1)+x=p(an+x)，其中x=q/(p-1) (或者可以把設定的式子拆開，等於原子)例：{an}中a1=1，a(n+1)=3an+4,求an解：a(n+1)+2=3(an+2)∴{an+2}是等比數列 首項是3，公比是3∴an=3^n-2B.遞推公式為a(n+1)=pan+q^n(p，q是常數)常規變形，將兩邊同時除以q^(n+1),得到a(n+1)/q^(n+1)=p/q an/q^n+1/q再令bn=an/q^n,可以得到b(n+1)=kbn+m(k=p/q , m=1/q)之後就用上面A中提到的方法來解決C.遞推公式為a(n+2)=pa(n+1)+qan,(p，q是常數)可以令a(n+2)=x^2 , a(n+1)=x , an=1解出x1和x2，可以得到兩個式子a(n+1)-x1an=x2(an-x1a(n-1))a(n+1)-x2an=x1(an-x2a(n-1))然後，兩式子相減，左邊可以得出kan來(k為係數)右邊就用等比數列的方法得出來例：{an}中，a1=1,a2=2,a(n+2)=2/3 a(n+1)=1/3 an解：x^2=2x/3=1/3x1=1,x2=-1/3可以得到方程組a(n+1)-an=-1/3 (an-a(n-1))a(n+1)+1/3 an=an+1/3 a(n-1)解得an=7/4-3/4×(-1/3)^(n-1)D.遞推式a(n+1)=pan+an+b(a，b，p是常數)可以變形為a(n+1)+x(n+1)+y=p(an+xn+y)然後和原式子比較，可以得出x，y，即可以得到{an+xn+y}是個 以p為公比的等比數列例：{an}中，a1=4， an=3a(n-1)+2n-1(n≥2)解：原式=>an+n+1=3[a(n-1)+(n-1)+1]∴{an+n+1}為等比數列，q=3，首項是6∴an=2×3^n-n-1特徵根法遞推式為a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D) (A，B，C，D是常數)令a(n+1)=an=x,原式則為x=(Ax+B)/(Cx+D)(1)若解得相同的實數根x0，則可以構造數列{1/(an-x0)}為等差數列例：{an}滿足a1=2，a(n+1)=(2an-1)/(4an+6),求an解：x=(2x-1)/(4x+6)解得x0=-1/21/(an+1/2)=1/[(2a(n-1)-1)/(4a(n-1)+6) +1/2]=1/[a(n-1)+1/2] +1∴{1/(an+1/2)}是等差數列，d=1，首項是2/5∴an=5/(5n-3) -1/2(2)若解得兩個相異實根x1,x2,則構造{(an-x1)/(an-x2)}為等比數列(x1,x2的位置沒有順序，可以調換)例：{an}滿足a1=2，a(n+1)=(an+2)/(2an+1)解：由題可得(an-1)/(an+1)=-1/3 [a(n-1)-1]/[a(n-1)+1]則{(an-1)/(an+1)}是等比數列，q=-1/3，首項是1/3∴an=[1+(-1)^(n-1) (1/3)^n]/[1-(-1)^(n-1) (1/3)^n](3)如果沒有實數根，那麼這個數列可能是週期數列例：{an}中，a1=2,滿足a(n+1)=(an-1)/an(n≥2)解：a1=2 , a2=1/2 , a3=-1 , a4=2 , a5=1/2 ……所以an=2(n MOD 3=1)，1/2(n MOD3=1)，-1(nMOD3=0)(準確的應該是有大括號像分段函式那樣表示，但是這裡無法顯示)連加相減，連乘相除例：{an}滿足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)解：令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)∴an=3(n+1)通項公式：按一定次序排列的一列數稱為數列，而將數列{a n } 的第n項用一個具體式子（含有引數n）表示出來，稱作該數列的通項公式。這正如函式的解析式一樣，透過代入具體的n值便可求知相應a n 項的值。而數列通項公式的求法，通常是由其遞推公式經過若干變換得到。
求數列通項公式的基本方法：累加法遞推公式為a(n+1)=an+f(n)，且f(n)可以求和例：數列{an}，滿足a1=1/2，a(n+1)=an+1/(4n^2-1)，求{an}通項公式解：a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2∴an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))∴an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2)累乘法遞推公式為a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求積例：數列{an}滿足a(n+1)=(n+2)/n an，且a1=4，求an解：an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=2n(n+1)構造法將非等差數列、等比數列，轉換成相關的等差等比數列適當的進行運算變形例：{an}中，a1=3,a(n+1)=an^2,求an解：ln a(n+1)=ln an^2=2ln an∴{ln an}是等比數列，q=2，首項為ln3∴ln an =(2^(n-1))ln3故an=3^[2^(n-1)]倒數變換法(適用於a(n+1)=Aan/(Ban+C),其中，A、B、C∈R)例：{an}中，a1=1，a(n+1)=an/(2an+1)解：1/a(n+1)=(2an+1)/an=1/an +2∴{1/an}是等差數列，首項是1，公差是2∴an=1/(2n-1)待定係數法A.遞推式為a(n+1)=pan+q(p，q為常數)，可以構造遞推數列{an+x}為 以p為公比的等比數列，即a(n+1)+x=p(an+x)，其中x=q/(p-1) (或者可以把設定的式子拆開，等於原子)例：{an}中a1=1，a(n+1)=3an+4,求an解：a(n+1)+2=3(an+2)∴{an+2}是等比數列 首項是3，公比是3∴an=3^n-2B.遞推公式為a(n+1)=pan+q^n(p，q是常數)常規變形，將兩邊同時除以q^(n+1),得到a(n+1)/q^(n+1)=p/q an/q^n+1/q再令bn=an/q^n,可以得到b(n+1)=kbn+m(k=p/q , m=1/q)之後就用上面A中提到的方法來解決C.遞推公式為a(n+2)=pa(n+1)+qan,(p，q是常數)可以令a(n+2)=x^2 , a(n+1)=x , an=1解出x1和x2，可以得到兩個式子a(n+1)-x1an=x2(an-x1a(n-1))a(n+1)-x2an=x1(an-x2a(n-1))然後，兩式子相減，左邊可以得出kan來(k為係數)右邊就用等比數列的方法得出來例：{an}中，a1=1,a2=2,a(n+2)=2/3 a(n+1)=1/3 an解：x^2=2x/3=1/3x1=1,x2=-1/3可以得到方程組a(n+1)-an=-1/3 (an-a(n-1))a(n+1)+1/3 an=an+1/3 a(n-1)解得an=7/4-3/4×(-1/3)^(n-1)D.遞推式a(n+1)=pan+an+b(a，b，p是常數)可以變形為a(n+1)+x(n+1)+y=p(an+xn+y)然後和原式子比較，可以得出x，y，即可以得到{an+xn+y}是個 以p為公比的等比數列例：{an}中，a1=4， an=3a(n-1)+2n-1(n≥2)解：原式=>an+n+1=3[a(n-1)+(n-1)+1]∴{an+n+1}為等比數列，q=3，首項是6∴an=2×3^n-n-1特徵根法遞推式為a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D) (A，B，C，D是常數)令a(n+1)=an=x,原式則為x=(Ax+B)/(Cx+D)(1)若解得相同的實數根x0，則可以構造數列{1/(an-x0)}為等差數列例：{an}滿足a1=2，a(n+1)=(2an-1)/(4an+6),求an解：x=(2x-1)/(4x+6)解得x0=-1/21/(an+1/2)=1/[(2a(n-1)-1)/(4a(n-1)+6) +1/2]=1/[a(n-1)+1/2] +1∴{1/(an+1/2)}是等差數列，d=1，首項是2/5∴an=5/(5n-3) -1/2(2)若解得兩個相異實根x1,x2,則構造{(an-x1)/(an-x2)}為等比數列(x1,x2的位置沒有順序，可以調換)例：{an}滿足a1=2，a(n+1)=(an+2)/(2an+1)解：由題可得(an-1)/(an+1)=-1/3 [a(n-1)-1]/[a(n-1)+1]則{(an-1)/(an+1)}是等比數列，q=-1/3，首項是1/3∴an=[1+(-1)^(n-1) (1/3)^n]/[1-(-1)^(n-1) (1/3)^n](3)如果沒有實數根，那麼這個數列可能是週期數列例：{an}中，a1=2,滿足a(n+1)=(an-1)/an(n≥2)解：a1=2 , a2=1/2 , a3=-1 , a4=2 , a5=1/2 ……所以an=2(n MOD 3=1)，1/2(n MOD3=1)，-1(nMOD3=0)(準確的應該是有大括號像分段函式那樣表示，但是這裡無法顯示)連加相減，連乘相除例：{an}滿足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)解：令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)∴an=3(n+1)通項公式：按一定次序排列的一列數稱為數列，而將數列{a n } 的第n項用一個具體式子（含有引數n）表示出來，稱作該數列的通項公式。這正如函式的解析式一樣，透過代入具體的n值便可求知相應a n 項的值。而數列通項公式的求法，通常是由其遞推公式經過若干變換得到。