原子核之間並沒有通訊機制，每一個原子都按照自己固有的規律衰變就能表現出宏觀上的半衰期。並且這個固有衰變規律非常簡單，那就是單位時間內的衰變機率為一常數 。

現有一原子核，設在0時刻沒有衰變，問t時刻衰變的機率是多少。現在我們只知道該原子核單位時間衰變的機率為 ，因此，我們將0到t這段時間分成n段（n足夠大），每一段的時間長度為t/n。既然單位時間衰變機率為 ，那麼t/n這段時間內衰變的機率就為 ，未衰變的機率為 。在整個時間t內原子核沒有衰變的條件是在所有的這n份時間段內均未衰變，所以直接將n個未衰變機率相乘即可得到t時刻未衰變的機率 。分段數n越大，結果越真實。所以取極限就得到了該原子核在t時刻未衰變的確切機率：

如果知道0時刻原子核的個數為 ，那麼t時刻剩下的原子核個數 為：

這正是原子核的衰變規律，其中 稱為衰變常數。令 ，即可得到半衰期與衰變常數的關係：

可以看出，上面的推導所用到的條件僅僅是原子核單位時間衰變的機率為一常數 ，所以原子核並不需要知道其他原子核是否衰變，也不需要知道當前還剩下多少原子核未衰變。它們不需要刻意“調整”自己的衰變機率，只需保持一個恆定的衰變常數就可以讓衰變規律得到滿足。

打個比方，假如某人造了一輛每走一公里就有一定的機率壞掉的車子，那麼這些車子也一定會表現出一個“半壞掉距離”的特徵量出來，每過一個“半壞掉距離”，就會有一半的車子壞掉，過兩個“半壞掉距離”，就會有3/4的車子壞掉……但這些車表現出這個規律並不是因為那人制造的車子互相之間可以通訊，從而確定每輛車子何時壞掉。事實上，“每走一公里就有一定的機率壞掉”這個事實足以讓這些車表現出“半壞掉距離”的特點。

所以，每個原子核的衰變都是獨立的，它們互不相關。它們按照“單位時間衰變機率為常數”這樣的簡單規律進行衰變，從而造成我們所看到的衰變現象。

對於問題二，一個原子核究竟應該什麼時候衰變，答案是它是隨機的。對於一個原子核，我們不能肯定它什麼時候衰變，只能說它衰變的機率。原子核在t時刻未的衰變機率符合上面推出的 這個公式，從而t時刻衰變的機率就是 。注意，同一種原子核都是按照這個規律來衰變的，它們之間並沒有什麼通訊發生。

對於問題三，答案是原子核從來都沒有調整過衰變的快慢，他們單位時間的衰變機率至始至終都是 。

對於問題一，半衰期並不是按題主描述的那樣測定的。測定樣品的放射強度隨時間的變化曲線就可以得到半衰期。