歐幾里得已經指出，正三邊形、正四邊形、正五邊形、正十五邊形和邊數是上述邊數兩倍的正多邊形的幾何作圖是能夠用圓規和直尺實現的，但從那時起關於這個問題的研究沒有多大進展。高斯在數論的基礎上提出了判斷一給定邊數的正多邊形是否可以幾何作圖的準則。例如，用圓規和直尺可以作圓內接正十七邊形。這樣的發現還是歐幾里得以後的第一個。
這些關於數論的工作對代數數的現代算術理論即代數方程的解法)作出了貢獻。
正十七邊形
高斯還將複數引進了數論，開創了復整數算術理論，復整數在高斯以前只是直觀地被引進。1831年(發表於1832年)他給出了一個如何藉助於x,y平面上的表示來發展精確的複數理論的詳盡說明。
高斯是最早懷疑歐幾里得幾何學是自然界和思想中所固有的那些人之一。歐幾里得是建立系統性幾何學的第一人。他模型中的一些基本思想被稱作公理，它們是透過純粹邏輯構造整個系統的出發點。在這些公理中，平行線公理一開始就顯得很突出。按照這一公理，透過不在給定直線上的任何點只能作一條與該直線平行的線。
不久就有人推測︰這一公理可從其他一些公理推匯出來，因而可從公理系統中刪去。但是關於它的所有證明都有錯誤。高斯是最早認識到可能存在一種不適用平行線公理的幾何學的人之一。他逐漸得出革命性的結論︰確實存在這
空間彎曲——非歐幾何的一種表現
樣的幾何學，其內部相容並且沒有矛盾。但因為與同代人的觀點相背，他不敢發表(參閱非歐幾里得幾何條)。
當1830年前後匈牙利的波爾約(Janos Bolyai)和俄國的羅巴切夫斯基獨立地發表非歐幾何學時，高斯宣稱他大約在30年前就得到同樣的結論。高斯也沒有發表特殊複函式方面的工作，可能是因為沒有能從更一般的原理匯出它們。因此這一理論不得不在他死後數十年由其他數學家從他著作的計算中重建。
1830年前後，極值(極大和極小)原理在高斯的物理問題和數學研究中開始佔有重要地位，例如流體保持靜止的條件等問題。在探討毛細作用時，他提出了一個數學公式能將流體系統中一切粒子的相互作用、引力以及流體粒子和與它接觸的固體或流體粒子之間的相互作用都考慮在內。這一工作對於能量守恆原理的發展作出了貢獻。從1830年起高斯就與物理學家威廉·愛德華·韋伯密切合作。由於對地磁學的共同興趣，他們一起建立了一個世界性的系統觀測網。他們在電磁學方面最重要的成果是電報的發展。因為他們的資金有限，所以試驗都是小規模的。
歐幾里得已經指出，正三邊形、正四邊形、正五邊形、正十五邊形和邊數是上述邊數兩倍的正多邊形的幾何作圖是能夠用圓規和直尺實現的，但從那時起關於這個問題的研究沒有多大進展。高斯在數論的基礎上提出了判斷一給定邊數的正多邊形是否可以幾何作圖的準則。例如，用圓規和直尺可以作圓內接正十七邊形。這樣的發現還是歐幾里得以後的第一個。
這些關於數論的工作對代數數的現代算術理論即代數方程的解法)作出了貢獻。
正十七邊形
高斯還將複數引進了數論，開創了復整數算術理論，復整數在高斯以前只是直觀地被引進。1831年(發表於1832年)他給出了一個如何藉助於x,y平面上的表示來發展精確的複數理論的詳盡說明。
高斯是最早懷疑歐幾里得幾何學是自然界和思想中所固有的那些人之一。歐幾里得是建立系統性幾何學的第一人。他模型中的一些基本思想被稱作公理，它們是透過純粹邏輯構造整個系統的出發點。在這些公理中，平行線公理一開始就顯得很突出。按照這一公理，透過不在給定直線上的任何點只能作一條與該直線平行的線。
不久就有人推測︰這一公理可從其他一些公理推匯出來，因而可從公理系統中刪去。但是關於它的所有證明都有錯誤。高斯是最早認識到可能存在一種不適用平行線公理的幾何學的人之一。他逐漸得出革命性的結論︰確實存在這
空間彎曲——非歐幾何的一種表現
樣的幾何學，其內部相容並且沒有矛盾。但因為與同代人的觀點相背，他不敢發表(參閱非歐幾里得幾何條)。
當1830年前後匈牙利的波爾約(Janos Bolyai)和俄國的羅巴切夫斯基獨立地發表非歐幾何學時，高斯宣稱他大約在30年前就得到同樣的結論。高斯也沒有發表特殊複函式方面的工作，可能是因為沒有能從更一般的原理匯出它們。因此這一理論不得不在他死後數十年由其他數學家從他著作的計算中重建。
1830年前後，極值(極大和極小)原理在高斯的物理問題和數學研究中開始佔有重要地位，例如流體保持靜止的條件等問題。在探討毛細作用時，他提出了一個數學公式能將流體系統中一切粒子的相互作用、引力以及流體粒子和與它接觸的固體或流體粒子之間的相互作用都考慮在內。這一工作對於能量守恆原理的發展作出了貢獻。從1830年起高斯就與物理學家威廉·愛德華·韋伯密切合作。由於對地磁學的共同興趣，他們一起建立了一個世界性的系統觀測網。他們在電磁學方面最重要的成果是電報的發展。因為他們的資金有限，所以試驗都是小規模的。