湍流和層流都是用來描述流動狀態的，lumley在《A first course in turbulence 》裡就專門強調這點，以防止初學者陷入概念錯誤，誤以為這是流體本身的某種性質或者特性。最先提出流動可以分為層流狀態和湍流狀態的是雷諾，他透過觀察圓管內流體的運動，發現當雷諾數達到某個值的時候，墨水的染色線（Streakline）會變得紊亂起來，不再簡單的呈直線狀。這個基於定性觀察的定義是很容易理解的，可是有沒有精確的數學定義呢？很抱歉還沒有。這就像龍捲風大家都能看到，你指著龍捲風說：哇，好大一個旋渦。沒人敢說你這話是錯的，可是仔細追究起來，什麼是渦的數學定義？誰也說不清。最近德克薩斯阿靈頓分校的劉超群教授提出了一種新的定義。他對速度梯度張量做了進一步的分解，似乎有望解決這個問題。回到湍流，儘管沒有公認的數學定義，但一些具體的典型流動人們是毫無爭議地認為這就是湍流流動的，比如平板上充分發展的邊界層（Wall bounded turbulence ）。就好像你沒法對“肥胖”下一個精確的定義，但給你一個具體的例子，你還是不太難分辨一個人到底胖不胖的。對於這些公認的湍流流動，人們從理論、實驗、模擬等角度開展了大量研究，得到了一些結論。這些結論可以用來描述湍流的特徵（生成演化過程、擬序結構、湍流能譜等等）。例如K41理論就是純理論推匯出的，低速條帶最早是在實驗室用氫氣泡發現的，近年來DNS的發展大大加深了人們對擬序結構的認識。對於數學家來說，絕對不接受在沒有定義一個數學概念的前提下就隨意使用這個概念。但流體中不得不允許這種操作，某種物件可以先只有一個模糊的定義，然後去研究這個物件的特徵。放兩張圖片，大家體會一下三十年來實驗硬體的發展，鐳射器的能量更高了，相機解析度也大大提升。