充分性：（已知左右極限存在且相等，證明極限存在）設lim[x→x0+]f(x)=A，lim[x→x0-]f(x)=A由lim[x→x0+]f(x)=A，則對於任意ε>0，存在δ1>0，當0<x-x0<δ1時，有|f(x)-A|<ε成立；又由lim[x→x0-]f(x)=A，存在δ2>0，當-δ2<x-x0<0時，有|f(x)-A|<ε成立；取δ=min{δ1，δ2}，則當0<|x-x0|<δ時，若x>x0，則0<|x-x0|<δ≤δ1成立，若x<x0，則-δ2≤-δ<x-x0<0成立，因此無論哪種情況，均有|f(x)-A|<ε成立，因此lim[x→x0]f(x)=A。必要性：（已知極限存在，證明左右極限存在並相等）由lim[x→x0]f(x)=A，則任取ε>0，存在δ>0，當0<|x-x0|<δ時，有|f(x)-A|<ε成立此時有：0<x-x0<δ時，|f(x)-A|<ε成立，因此lim[x→x0+]f(x)=A；同理，此時有：-δ<x-x0<0時，|f(x)-A|<ε成立，因此lim[x→x0-]f(x)=A。希望可以幫到你，不明白可以追問，如果解決了問題，請點下面的"選為滿意回答"按鈕。