你居然有資格當“初中教師”？看來考教師資格證不需要測智商。

在一個平面上，到一定點距離相同的點的集合，就是圓。注意，距離相同。如果有任意不為零的線段是“直線”，請問如何滿足“距離相同”這個要求？這可是初中生就能理解的問題。

這又和π有關係嗎？沒關係。

應該是這樣的，樓主的意思是 如果派π是有理數，它就可能被有限等分，那圓就是一個有限等分的正多邊形，所以就是由有限條直線段連成的正多邊形，那麼圓弧就不是無限連續平滑變化的曲線。。。也就是說圓的定義就不是在有限域內，所以派π就一定不是個有限的有理數。。

題主的意思是：如果 圓周率 π 是一個 有理數，那麼 圓就不是弧，而是由 多邊形的邊組成的 折線。

要考察，題主的猜想是否成立！我們需要找到 一個 和 圓相似的 多邊形。並檢查 多邊形周長 和 "半徑"×2 的比值 是否是一個有理數。

基於，圓的中心對稱性，我們只能選擇 正多邊形 作為和 圓相似的 多邊形。也只有它隨著邊數的增多，會越來越和圓接近。

對於 正 n（n ≥3） 邊形，中心 到各個頂點 的距離均相同，這可以看成 半徑，其長度記為 r，如下圖所示：

於是變長 a = 2r sin(180°/n)，進而 周長 C = an = 2rn sin(180°/n)，這樣就有 周長 和 半徑×2 之比 Kn 為：

Kn = C : 2r = n sin(180°/n)

這裡 Kn 首先是一個 和 半徑 r 無關的常數，這一點和 圓周率是常數的性質 一致，這說明我們選擇 正 n 邊形的正確性。另外，隨著 n 增加 Kn 接近真實的 圓周率，見下圖：

接著，我們需要確保 Kn 是有理數，才有可能 被 π 是有理數時選擇。但實際上：

K₃ = 3sin(60°) = 3√3/2

K₄ = 4sin(45°) = 2√2

K₅ = 5sin(36°) = √(10-2√5)/4

K₆ = 6sin(30°) = 3

...

可見, Kn 有的時候是有理數，有的時候是無理數。這說明，只有當 π 恰巧是 某些 有理數 Kᵢ 對應有理數數時 才會使得 圓弧變為 Kᵢ 對應的 i 邊形的 邊。

例如：若 π = K₆ = 3 時，則 圓弧就變成 正 6 邊形的 邊。

更進一步：如果 π 不幸被計算出是 不屬於 Kn 中的任何一個 有理數 的有理數，那麼意味著 圓弧不可能是 正 n 邊形的 邊。於是 只能是 某個 非中心對稱的多邊形的邊，這時 圓 將不再是 圓的，另外很可能 π 還會失去 是 常數的性質。

很多人對圓周率π有誤解，或者說表達不夠準確。π是無理數，也就是無限不迴圈小數，這點大家都知道。但無理數與有理數一樣都是準確的說，不能說無限不迴圈就不是準確的數！

比如π，還有根號2等，我們永遠無法用小數寫出來這樣的數，但這並不妨礙π就是一個準確的說，沒有哪條規則要求必須要用小數寫出來的數才是準確的數！

反過來說，如果π不是準確的數，那就是不準確的數或者不是一個定數，也就是說π的數值不固定，可以來回變動，這顯然是不對的！π就是隻一個準確固定的數，這個數就是π！

而且我們可以在數軸上準確地畫出π到底有多長，這個很簡單就能做到，每個人都能做到，見下圖：

我想多數人應該明白π是一個準確固定的數，只是表達上不太嚴謹，因為π給人們的印象是小數點後永遠沒有盡頭，而且還不迴圈，感覺上就是不確定的，實際上我們只需要轉變思維方式就行了！

很多時候我們習慣於把整數或者分數看做準確和固定的數，這是固定思維，但實際上π與自然數1，2，3等數字一樣，就是一個數，根號2也是如此。你非要問π究竟是多少，這本身就是定式思維的表現，π就是π，就像你問“1究竟是多少？”一樣，1就是1。

當然，π是無限不迴圈的數，這點事沒有任何疑問的，人類早就證明了這一點，至於為什麼是無限不迴圈的，原因也並不複雜，就是因為數學概念裡，沒有絕對的圓形！

純理論上分析，圓形就是正N邊形，前提是N無限大，但無限大本來就不是一個固定的數，你永遠找不出無限大這個數的存在，所以完美的圓形是不存在的！

而人類古代數學家正是利用這點來計算圓周率的，比如我們著名科學家祖沖之，利用割圓術在1500年前就計算出π的小數點後七位數，在3.1415926到3.1415927之間，這個準確度即使放到今天也相當了不得了！