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  • 1 # 使用者7419309675001

    "特徵向量"是針對某個矩陣而言的,對於某個矩陣A,由於它本身的構造(哪些向量是它的列向量,以及這些向量的先後順序),就導致了出現了這樣的情況,既在某個特定方向上,如果你取了一個向量x(x與該方向同向),則你透過y=Ax計算得到的y與x是共線的(同向或反向),而y與x的比值為λ,就有y=Ax=λx,取後半截,就有Ax=λx。

    所有在這個特定方向(一條線上)上的x,都叫對應這個λ值的特徵向量(無限多),因為在這個方向上,無論x如何取值(方向與特定方向一致),由Ax得到的y都在這條線上,且這個y與x的比值總是為λ,λ就被稱為特徵值了。如果特徵值λ是正的,y與x就同向,如果λ是負值,y就與x反向,但y與x總是共線的。

    很多人在理解Ax=λx時更多注意到了A與λ在計算上的數值等效性,但更關鍵的,也就是 特徵向量之所以"特"的地方是y=λx,就是y與x在一條線上。"特"的核心是方向一致,而不是模長的比值為某個特定的數值。其實y與x的模長比一直存在的,但這個比值一般來說沒有意義(y與x不同向,不共線),只有當兩個向量同向(共線)時,它們的模長才比的有意義(你可以用λ乘x求出y來,若y與x不共線,你就不能用y與x的模長比從x求出y了)。

    從計算上講,因為有了Ax=λx,在這個方向上要求y,你就不需要透過矩陣A左乘x來得到y了,那樣好麻煩的,你直接把x乘上λ就可以了,就回到小學乘法運算了。

    所以,若把問題改一改,問:任何非零向量是否可以是某個矩陣的特徵向量?答案應該是可以,即無論對哪個非零向量x,你總能找到一個A,使Ax=λx。

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