確實可以，不過也沒你想的那麼快。
主要問題不在於速度，在於加速度。
飛船出發的時候肯定是從靜止開始慢慢加速的，不能突然就變成接近光速飛行了，否則人體也承受不了，跟爆炸一樣猛然啟動到接近光速的話人早就被加速度擠扁了。
在不冷凍睡眠的情況下，人在飛船上還要維持正常生活，這個加速度不可能很大，應該一直保持1g加速度航行，否則長期生活在不正常的重力加速度環境下，過不了幾個月就會產生嚴重的健康問題。
那麼我們就可以算算了。
根據相對論，飛船以恆定加速度飛行，飛過的距離x與時間τ的關係為：
這種情況下，飛船裡面的時間τ和外面的地球時間t的差異為：
將加速度a設定為1g重力加速度=9.8m/s，那麼結果就是：
用1g加速1年，飛船能達到0.77倍光速，共飛行0.6光年的距離，這時候地球上過了1.2年；
用1g加速3年，飛船能達到0.99倍光速，共飛行9.7光年的距離，這時候地球上過了10.7年；
用1g加速5年，飛船能達到0.9999倍光速，共飛行83光年的距離，這時候地球上過了84年。
注意這只是加速部分，飛過半程以後，飛船應該調轉船頭，用1g開始減速，飛過同樣的距離之後，才能在目的地停下。
所以，持續加速5年，再減速5年停下，一共也就飛了166光年的距離。這就用了10年，可不是隻要幾年或者幾個月就到了。
當然，隨著飛船速度越來越快，相對論的影響也會隨之擴大。
銀河系的直徑大約十幾萬光年。用1g加速12年，飛船可以飛行11.4萬光年，算上後半段用同等長度減速，24年之內你就能到達銀河系內的任何地方。
離我們最近的仙女座星系，距離220萬光年。飛行14年可以跑90萬光年，所以想在仙女座停下，你大概得飛行29年。
目前已知的最遠的星系，距離地球131億光年。飛行23年可以跨越96億光年，只需要46年你就可以縱貫宇宙！
所以，人的一生時間，理論上講是可以完成宇宙旅行的。不過，46年時間也很久了啊，如果你20歲出發，到達宇宙盡頭的時候已經是個66歲老人了。
以上是未考慮所需能量的情況下。如果這艘飛船的燃料不足以持續維持1g加速度長達數年之久，那還是得睡過去或者用世代飛船。
另外，選擇睡船還是世代飛船，主要看作者想寫什麼樣的故事。如果主要描寫到達目的地之後的故事，就會選擇睡船。如果主要寫飛船路途上的故事，就選用世代飛船。
有一部科幻小說完美符合提問者的設想
中文譯名《宇宙過河卒》，英文原名《Tau Zero》，1971年出版。
這本小說講的就是，一艘載有50人的移民船，計劃前往幾十光年遠的目的地，採用上述恆定加速度方式飛行，飛船上的這段旅程只需要幾年。然而，飛船出發後不久就發生了故障，無法減速，只能永遠這樣加速下去。船上幾年後，地上已百年，地球上不會再有人認得他們；又過了幾年，飛船已經衝出銀河系，外界已經過去千萬年，他們在遐想，人類是否已經遍佈宇宙，這艘飛船是不是會被視為老古董；又多年過去了，飛船外的宇宙已經度過數以億計的時間尺度……
確實可以，不過也沒你想的那麼快。
主要問題不在於速度，在於加速度。
飛船出發的時候肯定是從靜止開始慢慢加速的，不能突然就變成接近光速飛行了，否則人體也承受不了，跟爆炸一樣猛然啟動到接近光速的話人早就被加速度擠扁了。
在不冷凍睡眠的情況下，人在飛船上還要維持正常生活，這個加速度不可能很大，應該一直保持1g加速度航行，否則長期生活在不正常的重力加速度環境下，過不了幾個月就會產生嚴重的健康問題。
那麼我們就可以算算了。
根據相對論，飛船以恆定加速度飛行，飛過的距離x與時間τ的關係為：
這種情況下，飛船裡面的時間τ和外面的地球時間t的差異為：
將加速度a設定為1g重力加速度=9.8m/s，那麼結果就是：
用1g加速1年，飛船能達到0.77倍光速，共飛行0.6光年的距離，這時候地球上過了1.2年；
用1g加速3年，飛船能達到0.99倍光速，共飛行9.7光年的距離，這時候地球上過了10.7年；
用1g加速5年，飛船能達到0.9999倍光速，共飛行83光年的距離，這時候地球上過了84年。
注意這只是加速部分，飛過半程以後，飛船應該調轉船頭，用1g開始減速，飛過同樣的距離之後，才能在目的地停下。
所以，持續加速5年，再減速5年停下，一共也就飛了166光年的距離。這就用了10年，可不是隻要幾年或者幾個月就到了。
當然，隨著飛船速度越來越快，相對論的影響也會隨之擴大。
銀河系的直徑大約十幾萬光年。用1g加速12年，飛船可以飛行11.4萬光年，算上後半段用同等長度減速，24年之內你就能到達銀河系內的任何地方。
離我們最近的仙女座星系，距離220萬光年。飛行14年可以跑90萬光年，所以想在仙女座停下，你大概得飛行29年。
目前已知的最遠的星系，距離地球131億光年。飛行23年可以跨越96億光年，只需要46年你就可以縱貫宇宙！
所以，人的一生時間，理論上講是可以完成宇宙旅行的。不過，46年時間也很久了啊，如果你20歲出發，到達宇宙盡頭的時候已經是個66歲老人了。
以上是未考慮所需能量的情況下。如果這艘飛船的燃料不足以持續維持1g加速度長達數年之久，那還是得睡過去或者用世代飛船。
另外，選擇睡船還是世代飛船，主要看作者想寫什麼樣的故事。如果主要描寫到達目的地之後的故事，就會選擇睡船。如果主要寫飛船路途上的故事，就選用世代飛船。
有一部科幻小說完美符合提問者的設想
宇宙過河卒 (豆瓣)中文譯名《宇宙過河卒》，英文原名《Tau Zero》，1971年出版。
這本小說講的就是，一艘載有50人的移民船，計劃前往幾十光年遠的目的地，採用上述恆定加速度方式飛行，飛船上的這段旅程只需要幾年。然而，飛船出發後不久就發生了故障，無法減速，只能永遠這樣加速下去。船上幾年後，地上已百年，地球上不會再有人認得他們；又過了幾年，飛船已經衝出銀河系，外界已經過去千萬年，他們在遐想，人類是否已經遍佈宇宙，這艘飛船是不是會被視為老古董；又多年過去了，飛船外的宇宙已經度過數以億計的時間尺度……