這是我個人的一個想法，基本意思就是數學從某種方面來講也是一種嚴謹的直覺。

數學和一種探究真實世界研究方法： 在現代數學中如果從未發現一個甚至是很多個常量，那麼數學所建立起所有的演算法將全部崩塌，人類無法肯定數學最本質的模型的是否絕對正確，畢竟數學也是種模型演算法，如果數學模型在最起始過程中就存在未考慮到的常量甚至是為了研究某些現象而意淫出的代數意義作為研究的出發點但是和真實世界的意義背道而馳，但是透過所意淫出來的代數可以解釋其中的現象，但不可以解釋全部，那之前所有的計算在意義方面只有試錯意義，也就是透過假設反推來近一步逼近真實的世界。這也是目前推動理解真實世界的唯一方法，試錯發現新常量後進行重新搭建可能存在錯誤意義的代數也可能是正確意義的代數，在無數次觸發失敗後，無限逼近真實世界，這就是目前我們這個緯度在探討真實世界的唯一有效或者說笨方法。在人類沒有發現新的常量的前提下或者是常量在現實世界中的對映下，除了想象力可以進行試錯或可以搭建數學模型進行推導，預知未知常量，其他的將很難有新的物理突破，當現象或者是現實對映的資料足夠多後，可以透過掌握的資訊資料進行感測器建造，從而達到客官觀察後得到驗證結果。 未知常量限制了人類對真實世界的近一步探索。如果當代數學好，基礎物理也好所得出的結論（更何況目前的基礎物理大部分資料都是觀察到的現象而不是解釋為什麼）存在大量未知的極其基礎的未知常量，比如說未發現觀測到的的弦理論，那麼這個世界的所建立權威理論也會顯得十分荒誕無稽，但是這不能否定也人類對基礎物理學的近一步探討，因為人類生而為人，不能被未知束縛，人類當應自由，這就是基礎物理和數學的意義。

數學中反直覺的現象還是比較多，比方說自然數的個數同正奇數的個數是一樣多的。這種現象在有限中是不可想象的，而在無線中卻是客觀存在的。為什麼呢？

數學上，要判斷兩個無限集合的元素是否相等，我們只要能在兩個集合之間建立起一一對映的關係就行。能建立起一一對映的關係，就說兩個集合的元素個數一樣多。

現在，我們來看，自然數集合與正奇數集合之間能否建立一一對映的關係。自然數集合N={0，1，2，3，4，5，……}，正奇數集合M={1，3，5，7，9，……}，令N中的元素n對應M中的2n+1，即f：n→2n＋1。這樣，集合N與集合M就建立了一一對映的關係f（n）=2n+1。因此，兩個集合的元素個數一樣多。

類似的，還有實數的個數與平面上的點一樣多，奇數與偶數一樣多等等，是不是不可思議？這就是數學的奇妙之處，讓人無法理解，又讓人難以釋懷，數學的魅力也正於此。

數學的好處，就在於其嚴謹性，其邏輯沒有偷換一說;壞處，就還傷腦筋丶不能當飯吃;而且掌握得較好的人都顯得叭;談不上什麼，給人的感覺很灰。個人對其不太感冒。

這個問題很有趣。比這個問題本身更有趣的是，找到這個問題的答案的方法。

有一個論壇，叫做“民科吧”。顧名思義，“民間科學家”吧。

為什麼要提到民科呢？很簡單：民科為什麼是民科？因為民科們“搞研究”憑的是直覺，而不是邏輯和實驗。那麼，如果有一個結論是反直覺的，民科看到了呢？這不對啊！這跟俺的直覺是反著的啊！這肯定是錯的啊！然後就是各種，全世界的數學家都是傻X，眾人皆醉我獨醒，待我出山，幫中國拿一個諾貝爾數學獎~

“

”

上述文字摘自民科吧。

對於沒有經歷過高等數學教育的人來說，微積分是十分反直覺的。其中最關鍵的部分在於，微積分中的“無窮小”，有時候被當做一個0，有時候又不被當做一個0。然而這個問題早在百年前，微積分公理化的時候就已經解決了，民科們不好好學習，也沒辦法。

“

”

以上摘自民科吧

調和級數發散，可以說是一個著名的反直覺結論了。1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...... + 1/n,當n = 無窮大 的時候，這個和是多少？如果不作思考，直覺上往往會覺得，我們加上去的數越來越小了啊，而且小到後面都小得不行了，那肯定是收斂的啊，不可能發散。但是尤拉已經證明了，這個級數是發散的，意思就是說，級數的和是無窮大。越加越小，結果加到頭，居然無窮大！證明也很簡單：

這其實已經是十分簡潔明瞭的證明了，但是遺憾的是，有數位民科堅定表示，這個反直覺，所以肯定是錯的，然後搞出來一大堆亂七八糟漏洞百出的所謂“證明”。

如果你有興趣，可以去民科吧逛一逛，看看有多少人反對各種結論。一個理論被民科反對，那八成是“反直覺”的。相對論和量子力學反直覺，被民科批評的最多。不過如果你理科知識不夠紮實，逛的時候還請記住一句話，“這裡人說的話我一個標點都不能信”

然而有什麼用呢？幸而人類文明不仰仗這幫不學無術之輩。

答：費馬大定理、分球定理、超窮數理論、哥德爾不完備定理、各維度的點可以一一對應、地圖定理、圓周率的BBP公式和虛數等等，都是數學中比較反直覺的結論。

以下，一一作解釋。

一：費馬大定理

我們知道勾股數有無限個，勾三股四弦五，就是最簡單的勾股數。由此我們猜想：當次數n大於2時會怎麼樣？

費馬大定理指出：

這樣的形式，當指數n大於2時，不存在整數解。

這簡直就是反直覺啊，憑什麼n=2時有無數個，大於2卻一個都沒有！事實是這樣的，該定理歷經358年才被證明。

利用費馬大定理，可以得到一些有趣的證明，比如證明3次根號2為無理數：

這個證明簡直就是大炮打蚊子，但卻很美妙。

二：分球定理

數學中，有一條極其基本的公理，叫做選擇公理，許多數學內容都要基於這條定理才得以成立。

在1924年，數學家斯特·巴拿赫和阿爾弗萊德·塔斯基根據選擇公理，得到一個奇怪的推論——分球定理。

該定理指出，一個三維實心球分成有限份，然後可以根據旋轉和平移，組成和原來完全相同的兩個實心球。沒錯，每一個和原來的一模一樣。

分球定理太違反直覺，但它就是選擇公理的嚴格推論，而且不容置疑的，除非你拋棄選擇公理，但數學家會為此付出更大的代價。

三：無窮大也有等級大小

在二十世紀以前，數學家們遇到無窮大都避而讓之，認為要麼哪裡出了問題，要麼結果是沒有意義的。

直到1895年，康托爾建立超窮數理論，人們才得知無窮大也是有等級的，比如實數個數的無窮，就比整數個數的無窮的等級高。

這也太違反直覺了，我們從來不把無窮大當作數，但是無窮大在超窮數理論中，卻存在不同的等級。

四：“可證”和“真”不是等價的

1931年，奧地利數學家哥德爾，提出一條震驚學術界的定理——哥德爾不完備定理。

該定理指出，我們目前的數學系統中，必定存在不能被證明也不能被證偽的定理。該定理一出，就粉碎了數學家幾千年的夢想——即建立完善的數學系統，從一些基本的公理出發，推匯出一切數學的定理和公式。

可哥德爾不完備定理指出：該系統不存在，因為其中一定存在，我們不能證明也不能證偽的“東西”，也就是數學系統不可能是完備的，至少它的完備性和相容性不能同時得到滿足。

五：一維可以和二維甚至更高維度一一對應

按照我們的常識，二維比一維等級高，三維比四維等級高，比如線是一維的，所以線不能一一對應於面積。

但事實並非如此，康托爾證明了一維是可以一一對應高維的，也就是說一條線上的點，可以和一塊麵積甚至體積的點一一對應，或者說他們包含的點一樣多。

說到一一對應，就離不開函式，那麼這樣從低維到高維的函式存在嗎？

答案是肯定的！

在1890年，義大利數學家皮亞諾，就發明了一個函式，使得函式在實軸[0,1]上的取值，可以一一對應於單位正方形上的所有點，這條曲線叫做皮亞諾曲線。

這個性質的發現，暗示著人類對維度的主觀認識，很可能是存在缺陷的。

六：地圖定理

該定理是這樣的，比如我們在國內，拿著中國地圖，那麼在該地圖上，一定存在一個點，使得圖上的點，和該點所在的真實地理位置精確一致，這麼一個點我們絕對能找到。

該定理還可以擴充套件，說地球上一定存在一個對稱的點，在任何時刻，它們的溫度和氣壓一定精確相等，注意，這裡說的"一定"並不是機率上的"一定"，而是定理保證的絕對性。

當然，有人會說這個定理無法用於實際。

但利用這個定理，我們知道在一個公園的任意地方，標示一張地圖的話，我們一定能在圖上找到"當前所在位置"。

七：獨立計算圓周率的任何一位

我們計算圓周率的公式有很多，很長一段時間裡，我們都認為要計算圓周的1000位，必須把前面999位計算出來。

可是在1995年，數學家就發現了一個神奇的公式，該公式可計算圓周率的任何一位數字，而不需要知道前面的數字。

比如計算第10億位的數字，我們不需要知道10億位之前的任何一位，該公式可以直接給出第10億位的數。該公式簡稱BBP公式。

八：負數可以開根號

小時候老師告訴我們"負負得正"，可是到了高中，老師又突然把虛數單位“i”扔給我們，告訴我們“i^2=-1”，這簡直就是反直覺啊！為何這個數的平方會是負數。

對於虛數“i”也是存在幾何意義的。

數學中，反直覺的定理非常多，到底是我們的數學，本來就是違背真實世界的呢？還是我們的常識，本來就存在認知缺陷？不同的人有不同的答案。

不過，我們可以確信的一點是，數學是追求相容的，一套數學系統，只要它在定義範圍內相容或者完備，那麼這套數學系統，就有它存在的意義，不管是否和我們常識相悖。

數學家希爾伯特曾提出“希爾伯特的旅店”問題。

希爾伯特有一個旅店，旅店裡有無限多間房間。有一天所有房間都住滿了人。然後又來了一名旅客。希爾伯特說：很抱歉，房間都住滿了。旅客說：沒關係。你可以讓第一間房間的人住第二間房，第二間房間的人住第三間房，如此類推，我就可以住第一間房間了。也可以讓第一間房間的人住第二間房，第二間房間的人住第四間房，以此類推，我也可以住第一間房間。

甚至，按照這種做法，無論再來多少客人，只要客人是有限個，這個住滿的酒店都可以繼續空出房間來給他們安排。

他的說法很反直覺，但是從數學角度上，他是正確的。

大部分人的直覺都是：整數多。因為整數包含奇數和偶數，所以整數多。

但是，正整數集合和正偶數集合都是無限多個元素。在數學上，無限多個元素的集合比較多少時要使用“勢”的概念。也就是：如果兩個集合可以建立一個一一對應的關係，那麼這兩個集合的元素個數就是一樣多的。

所以，如果我們令x表示正整數，y表示正偶數，建立對應關係y=2x，那麼正整數和正偶數之間就建立了一一對應的關係，所以正整數集合和正偶數集合是等勢的，或者說全體正整數和全體正偶數一樣多。

按照這種觀點，我們可以繼而可以證明全體正整數數和全體非負整數一樣多：建立一一對應關係：y=x-1，x屬於正整數，y屬於非負整數。

所以，客人來到希爾伯特的酒店住宿，提出的兩種方案都是合理的。第一種方案基於全體正整數（房間）和全體非負整數（客人）是一樣多的，第二種方案是基於全體正偶數（房間）和全體正整數（客人）是一樣多的。

我們不妨再提兩個問題供大家思考：全體正數和全體實數是一樣多的嗎？全體有理數和全體實數是一樣多的嗎？

多了去了，越是基本的定義就越充滿了這種反直覺。譬如點，線，面，體，無不反直覺；有與無也反直覺；進而數的起源都值得細細推敲與斟酌；以至於無窮小與無窮大問題也不可能充斥著難以調和的尖銳矛盾。。。