這題都出過多少次了。。詳細解答如下：首先，連續是連續，可導是可導，題目要你先證明連續性你就先證這個，凡事一步一步來不要跳。注意這裡只需要證明函式在x=0點連續以及可導，只要證明這一點就夠了，其他的點是不是連續，是不是可導我們根本就不關心。利用連續性、導數的定義還有題設條件就完了。證明函式f(x)在x=0點的連續性只需要證明在x=0處極限值等於函式值。亦即lim (x趨於0) phi(x)/x = f(0) = 1，因為此時x是“趨於”0，不是“等於”0，因此極限符號裡面的f(x)的表示式必須套用x不為零那一段的函式值；(phi就是題目裡的希臘字母，我的拼寫是按照發音拼的，英語裡ph發/f/的音，所以唸作/fi/)。由於：phi " (0) = lim (x趨於0) [phi(x) - phi(0) ]/x （導數定義） = lim (x趨於0) phi(x)/x （phi(0) = 0） = 1 (題目給的，phi " (0) =1)於是，lim (x趨於0) phi(x)/x = 1，連續性證畢；關於在x=0的可導性，還是根據定義，考察如下極限：f"(0) = lim (x趨於0) [f(x) - f(0)]/x = lim (x趨於0) [ phi (x)/x - 1]/x注意到，當x趨於0時，分子分母都是趨於0的，因為我們剛才證明過了lim (x趨於0) phi(x)/x = 1。（所以我們必須循序漸進地先證明連續性再證明可導性，這裡必須利用我們剛證明過的連續性）由於是0/0不定式，加上phi(x)是二階連續可導的，所以可以考慮用羅比達法則，f"(0) = lim (x趨於0) [ phi " (x) * x - phi(x)]/x^2 (^2為平方， * 為乘號)這同樣是一個0/0型，因為題目已知phi (0) = 0. 於是繼續用一次羅比達法則，f"(0) = lim (x趨於0) [ phi "" (x) * x + phi " (x) - phi " (x)] / (2x) = lim (x趨於0) [ phi "" (x) * x ] / (2x) = lim (x趨於0) phi "" (x) / 2由於函式phi "" (x)在x=0處連續（二階連續導數），所以，f"(0) = lim (x趨於0) phi "" (x) / 2 = phi "" (0) / 2 現在已經求出了導數，而且phi "" (0)是完全有定義的（說phi(x)在x=0有二階連續導數就等於預設phi "" (0)是存在的），證畢。如果題目繼續告訴你phi "" (0)是多少，直接代入就能求f"(0) 了。這題太老了，我讀本科的時候對這個題印象非常深刻。考了好幾次這個題。