平方數的集合是所有（整）數的集合的子集。但這兩個集合等勢。所以這兩個集合個數一樣多。==========透過題主的評論發現題主要證明的是任何數可以開平方。（這裡就證明下在實數域中，任何正實數都可以開平方吧==、複數就不考慮了。）注：一般我們只把整數的平方叫做平方數，而不是把任何實數的平方的叫做平方數，因為平方數的概念主要在數論裡有用，數論主要就是研究實數的。任何正實數可以開平方我們可以擴充套件下，把這個命題變成：一個正實數的n次根存在。取n=2就是這個題目命題了。首先介紹下上界的概念。對一個實數集A，存在一個數s，使得任意取這個實數集中的一個元素，都有s>x或s=x，我們就把這個實數s成為集合的上界。所有上界{s1, s2, s3, s4……}中最小的s稱為集合A的上確界。記為s=sup(A)有興趣的讀者可以證明下1. 對於有理數集，上確界不一定存在。2. 對廣義實數集（包括正負無窮）的任何子集，都存在上確界。3. 對於有界的實數的子集，存在上確界。然後我們定義運算：為x的n次根。下面我們證明集合不是空集，且sup(E)是一個實數。我們分兩種情況考慮1. x比1大：此時x是E的一個上界。因此存在最小上界。2. x小於等於1此時1是E的一個上界。因此存在最小上界。因此是實數。取n=2，任何實數都存在平方根。