平方和n(n+1)(2n+1)/6

推導：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,

　　n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1

　　.

　　3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1

　　2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.

　　把這n個等式兩端分別相加,得：

　　(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,

　　由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

　　代人上式得：

　　n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n

　　整理後得：

　　1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

　　a^2+b^2=a(a+b)+b(a-b)

奇數項：(2n-1)^2=4n^2-4n+1

S奇數=4(1^2+……+n^2)-4(1+……+n)+n

=4*n(n+1)(2n+1)/6-4*(1+n)n/2+n

=(2n+1)(2n-1)n/3

偶數項：(2n)^2=4n^2

S偶數=4(1^2+……+n^2)=2n(n+1)(2n+1)/3

立方和[n(n+1)/2]^2

推導：(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]

=(2n^2+2n+1)(2n+1)

=4n^3+6n^2+4n+1

所以有

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1

3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1

4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1

.

(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有

(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n

=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

奇數項：(2n-1)^3=8n^3-12n^2+6n-1

S奇數=8(1^3+……+n^3)-12(1^2+……+n^2)+6(1+……+n)-n

=8*[n(n+1)/2]^2-12*n(n+1)(2n+1)/6+6