證題的步驟基本為： 任意給定ε>0，要使|f(x)-A|<ε，（透過解這個不等式，使不等式變為δ1(ε）<x-x0<δ2(ε）為了方便，可讓ε值適當減少），取不等式兩端的絕對值較小者為δ(ε），於是 對於任意給定的ε>0,都找到δ>0，使當0<|x-x0|<δ時，有|f(x)-A|<ε . 即當x趨近於x0時，函式f(x）有極限A 例如證明f（x）=lnx在x趨於e時，有極限1 證明：任意給定ε>0，要使|lnx-1|<ε，只須-ε＜lnx-1＜ε,1-ε＜lnx＜1+ε,e＾(1-ε)＜x＜e＾(1+ε), ∴e＾(1-ε)-e＜x-e＜e＾(1+ε)-e,取δ(ε）=min（e-e＾(1-ε)，e＾(1+ε)-e）min後面兩數是不等式兩端的值，但左邊的是不等式左端的負值要取絕對值，這兩正數取較小的為δ，於是對於任意給定的ε>0,都能找到δ>0，使當0<|x-e|<δ時，有|f(x)-1|<ε . 即當x趨近於e時，函式f(x）有極限1 說明一下：1）取0<|x-e|，是不需要考慮點x=e時的函式值，它可以存在也可不存在，可為A也可不為A。 2）用ε-δ語言證明函式的極限較難，通常對綜合大學數學等少數專業才要求