拋磚引玉，希望各位有更好的答案

考慮傅立葉變換為函式空間中的一個么正變換，要求其平方根可考慮將其對角化，然後直接對本徵值開根號即可。鑑於傅立葉變換是復對稱的，其對角化應當是可行的。

考慮諧振子哈密頓量 的本徵態 ，由於哈密頓量關於 對稱，易知其在動量表象和座標表象下函式形式相同，或者可以透過如下生成公式更直接的看出

在傅立葉變換下相當於交換 ，只改變常係數，故也同為傅立葉變換的本徵矢。每個態在交換時所多出來的係數為 ，為相應的本徵值，那麼傅立葉變換可以寫作

，進而可以求得該么正變換的平方根為

或者

談一下影象上的理解。

傅立葉變換（或者其實數冪次）在上面寫成一個諧振子含時演化的算符形式（差一個全域性相位），這似乎挺讓人驚訝的：諧振子的含時演化可以生成傅立葉變換？

仔細想想，這實際上是非常顯然的一個事情。考慮一個經典的諧振子，其相空間中的運動完全就是在一個圓上按本徵頻率繞圈子。它可以經過1/4個週期從x軸轉動到p軸。

擴充套件一點，考慮量子諧振子中的相干態，我們知道在座標/動量表象下都是一箇中心作簡諧運動高斯波包。如果你做過一些壓縮相干態、旋轉相干態之類的驗算的話，你就知道相干態完全就是在相空間中轉動——精確的說，是Wigner表象中一個高斯波包繞著相空間中原點按本徵頻率旋轉。

考慮到相干態的超完備性，則任意波函式在諧振子勢的演化下，都是以同一角速度繞著中心旋轉，或者說x-p軸在反向旋轉（諧振子問題的確是經典量子對應最明確的例子）。那麼只要轉動1/4個週期，自然就是傅立葉變換——x軸都變成p軸都互換了還不是傅立葉變換？從這裡出發，自然也容易定義分數階傅立葉變換。

PS: 我大概也搞懂為什麼那篇自傳裡說之後話題轉向負機率了...Wigner分佈裡自然有負機率嘛。