球面上的幾何
我們生活在地球上，地球表面十分接近於一個球面。因此，在實際生活中，球面上的幾何(簡稱球面幾何)知識有著廣泛的實際應用。例如，大地（天體）測量、航空、衛星定位等方面均需利用球面幾何的知識。在理論上，球面幾何是一個與歐氏平面幾何不同的幾何模型，是一個重要非歐幾何的數學模型，球面幾何在幾何學的理論研究方面，具有特殊的作用。
本專題將使學生了解一個新的數學模型——球面幾何，初步學習球面幾何的一些基本知識及其在實際中的一些應用，透過比較球面幾何和歐氏平面幾何的差異和聯絡，感受自然界中存在著豐富多彩的數學模型。類比是學習這個專題所用到的重要的思想方法，空間想像和幾何直觀能力是學好這個專題的關鍵。
內容與要求
1．透過豐富的實際問題（如測量、航空、衛星定位），體會引入球面幾何知識的必要性。
2．透過球面圖形與平面圖形的比較，感受球面幾何與歐氏平面幾何的異同。例如，球面上的大圓相當於平面上的直線，球面上兩點之間的最短距離是大圓弧的劣弧部分，球冪定理。
3．透過對例項的分析，體會球面具有類似平面的對稱性質。
4．瞭解球面上的一些基本圖形：大圓、小圓、球面角、球面二角形（月形）、極與赤道、球面三角形、球面三角形的極對稱三角形（簡稱球極三角形）。
5．透過球面幾何與歐氏平面幾何比較，探索歐氏平面圖形的哪些性質能推廣到球面上，並說明理由，由此理解球面三角形的全等定理s．s．s，s．a．s，a．s．a。
6．理解單位球面三角形的面積公式（S=A＋B＋C－π），由此體會球面三角形內角和大於180O。
7．瞭解球面三角形全等的a．a．a定理。
8．利用球面三角形面積公式證明尤拉公式，體驗球面幾何與拓撲學的關係。
9．利用向量的叉乘（向量積）探索並證明球面餘弦定理（cosc=cosacosb+sinasinbcosC）和球面上的勾股定理（即當C=π/2時的球面餘弦定理），能從球面的餘弦定理推匯出球面的正弦定理（sinA/sina=sinB/sinb=sinC/sinc）。
10．體會當球面半徑無限增大時，球面接近於平面，球面的三角公式就變成相應的平面三角公式。
11．初步瞭解另一種非歐幾何模型——龐加萊模型。
12．完成一個學習總結報告。報告應包括三方面的內容：（1）知識的總結。對本專題整體結構和內容的理解，說明球面幾何與平面幾何中哪些公式（定理）是相同的，哪些公式有本質差異；說明為什麼相對於半徑來說很小的一小片球面可以作為一個平面來對待。（2）透過查閱資料、調查研究、訪問求教、獨立思考，進一步思考幾何與現實空間的關係。（3）學習球面幾何的感受、體會。
說明與建議
1．本專題的重點是培養學生空間想像和幾何直觀能力。
2．教學中應使學生切實地感受利用球面幾何知識可以解決（或解釋）生活或生產中的一些實際問題。在介紹球面幾何時，讓學生透過歐氏平面幾何和球面幾何的類比，得到球面幾何的相關結論，促使學生思考平面幾何模型與球面幾何等模型的差異。
3．介紹球面幾何與，主要是為了開拓學生的數學視野，使學生了解一些非歐幾何模型，對學生掌握現代數學思想方法有很大幫助。
4．球面幾何涉及到大量的空間圖形的對稱性（變換），在條件允許的學校，教學中可以充分利用（CAI）多媒體技術。
球面上的幾何
我們生活在地球上，地球表面十分接近於一個球面。因此，在實際生活中，球面上的幾何(簡稱球面幾何)知識有著廣泛的實際應用。例如，大地（天體）測量、航空、衛星定位等方面均需利用球面幾何的知識。在理論上，球面幾何是一個與歐氏平面幾何不同的幾何模型，是一個重要非歐幾何的數學模型，球面幾何在幾何學的理論研究方面，具有特殊的作用。
本專題將使學生了解一個新的數學模型——球面幾何，初步學習球面幾何的一些基本知識及其在實際中的一些應用，透過比較球面幾何和歐氏平面幾何的差異和聯絡，感受自然界中存在著豐富多彩的數學模型。類比是學習這個專題所用到的重要的思想方法，空間想像和幾何直觀能力是學好這個專題的關鍵。
內容與要求
1．透過豐富的實際問題（如測量、航空、衛星定位），體會引入球面幾何知識的必要性。
2．透過球面圖形與平面圖形的比較，感受球面幾何與歐氏平面幾何的異同。例如，球面上的大圓相當於平面上的直線，球面上兩點之間的最短距離是大圓弧的劣弧部分，球冪定理。
3．透過對例項的分析，體會球面具有類似平面的對稱性質。
4．瞭解球面上的一些基本圖形：大圓、小圓、球面角、球面二角形（月形）、極與赤道、球面三角形、球面三角形的極對稱三角形（簡稱球極三角形）。
5．透過球面幾何與歐氏平面幾何比較，探索歐氏平面圖形的哪些性質能推廣到球面上，並說明理由，由此理解球面三角形的全等定理s．s．s，s．a．s，a．s．a。
6．理解單位球面三角形的面積公式（S=A＋B＋C－π），由此體會球面三角形內角和大於180O。
7．瞭解球面三角形全等的a．a．a定理。
8．利用球面三角形面積公式證明尤拉公式，體驗球面幾何與拓撲學的關係。
9．利用向量的叉乘（向量積）探索並證明球面餘弦定理（cosc=cosacosb+sinasinbcosC）和球面上的勾股定理（即當C=π/2時的球面餘弦定理），能從球面的餘弦定理推匯出球面的正弦定理（sinA/sina=sinB/sinb=sinC/sinc）。
10．體會當球面半徑無限增大時，球面接近於平面，球面的三角公式就變成相應的平面三角公式。
11．初步瞭解另一種非歐幾何模型——龐加萊模型。
12．完成一個學習總結報告。報告應包括三方面的內容：（1）知識的總結。對本專題整體結構和內容的理解，說明球面幾何與平面幾何中哪些公式（定理）是相同的，哪些公式有本質差異；說明為什麼相對於半徑來說很小的一小片球面可以作為一個平面來對待。（2）透過查閱資料、調查研究、訪問求教、獨立思考，進一步思考幾何與現實空間的關係。（3）學習球面幾何的感受、體會。
說明與建議
1．本專題的重點是培養學生空間想像和幾何直觀能力。
2．教學中應使學生切實地感受利用球面幾何知識可以解決（或解釋）生活或生產中的一些實際問題。在介紹球面幾何時，讓學生透過歐氏平面幾何和球面幾何的類比，得到球面幾何的相關結論，促使學生思考平面幾何模型與球面幾何等模型的差異。
3．介紹球面幾何與，主要是為了開拓學生的數學視野，使學生了解一些非歐幾何模型，對學生掌握現代數學思想方法有很大幫助。
4．球面幾何涉及到大量的空間圖形的對稱性（變換），在條件允許的學校，教學中可以充分利用（CAI）多媒體技術。