複變函式是以複數作為自變數和因變數的函式。而與之相關的理論就是複變函式論。解析函式是複變函式中一類具有解析性質的函式，複變函式論主要就研究複數域上的解析函式，因此通常也稱複變函式論為解析函式論。　　複數的概念起源於求方程的根，在二次、三次代數方程的求根中就出現了負數開平方的情況。在很長時間裡，人們對這類數不能理解。但隨著數學的發展，這類數的重要性就日益顯現出來。　　複變函式論主要包括單值解析函數理論、黎曼曲面理論、幾何函式論、留數理論、廣義解析函式等方面的內容。　　如果當函式的變數取某一定值的時候，函式就有一個唯一確定的值，那麼這個函式解就叫做單值解析函式，多項式就是這樣的函式。　　複變函式也研究多值函式，黎曼曲面理論是研究多值函式的主要工具。由許多層面安放在一起而構成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函式的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對於某一個多值函式，如果能作出它的黎曼曲面，那麼，函式在黎曼曲面上就變成單值函式。　　黎曼曲面理論是複變函式域和幾何間的一座橋樑，能夠使我們把比較深奧的函式的解析性質和幾何聯絡起來。現時，關於黎曼曲面的研究還對另一門數學分支拓撲學有比較大的影響，逐漸地趨向於討論它的拓撲性質。　　複變函式論中用幾何方法來說明、解決問題的內容，一般叫做幾何函式論，複變函式可以透過共形映象理論為它的性質提供幾何說明。導數處處不是零的解析函式所實現的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學、空氣動力學、彈性理論、靜電場 、電路理論等方面都得到了廣泛的應用。　　留數理論是複變函式論中一個重要的理論。留數也叫做殘數，它的定義比較複雜。應用留數理論對於複變函式積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函式定積分，可以化為複變函式沿閉迴路曲線的積分後，再用留數基本定理化為被積分函式在閉合迴路曲線內部孤立奇點上求留數的計算，當奇點是極點的時候，計算更加簡潔。　　把單值解析函式的一些條件適當地改變和補充，以滿足實際研究工作的需要，這種經過改變的解析函式叫做廣義解析函式。廣義解析函式所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函式的一些基本性質，只要稍加改變後，同樣適用於廣義解析函式。　　廣義解析函式的應用範圍很廣泛，不但應用在流體力學的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學部門也在應用。因此，這些年來這方面的理論發展十分迅速。　　從柯西算起，複變函式論已有170多年的歷史了。以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分。曾經推動過一些學科的發展，並且常常作為一個有力的工具被應用在實際問題中，基礎內容已成為理工科很多專業的必修課程。複變函式論中仍然有不少尚待研究的課題，所以將繼續向前發展，並將取得更多應用。