更新一下，首先做一點明確，這裡只需要初始值是 ( )，並不需要這個數只用根式或者二次根式表達( @Andre ).

簡單評價一下這個過程。

從計算的角度，如果一開始任給一個實數x，我們可以透過這個方法估計 . 進行n步迭代之後，記這n次操作的複合為F. 任取[0,1)之間的一個數，比如說0，那麼由於 ，就有 （因為每次乘二），那麼 ，其中 是由一致連續得到的跟n有關的數. 所以看起來這個方法似乎能估計哎~能數值計算arccos哎~指數收斂哎~但仔細想想這跟二分法沒有本質差別。思路上來說相當於是逆向的二分法，但是不論從收斂速度、計算複雜程度還是最後計算的方式，都與二分法沒什麼差別。所以也許思路比較清奇，但橫向比較比不過二分法。從證明的角度，相當於給出了結論“ 當且僅當某個關於 的迭代在有限步出現迴圈”。也就是給出了這種數字的一個判準咯。但是，我感覺這跟“ 等價於把有理數排一列一個一個試一試在有限步發現等於 ”沒有本質上的差別。至少相同點是都沒什麼用。

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xy. 這個演算法其實跟反三角函式沒啥關係。其實問題就是，如果我知道q是個(0,1)裡面的有理數，那麼能不能知道q是多少。（話說這個說法超級奇怪。。）手機打字，為了說明起來簡單，我換一個跟題圖裡面不太一樣的演算法，但原理是一樣的。其實很簡單，每次把q乘2（2換成別的也一樣），如果某一次大於等於1了，那麼就減一個1拉回來。注意記下每一步的操作。那麼這樣操作下可以得到一列數。但由於已經知道了q是有理數，這種操作並不會改變分母，所以可能的變化只有有限多種，所以一定會出現迴圈。具體來說，有兩種情況：1 這個數列碰到了0。那麼“若干步後是0”這是個方程，就可以解出來q了。這種情況發生當且僅當q=a/2^b. 這種情況題圖裡面也並沒有說明。2 出現了非0的迴圈。那麼“某兩步的數相等”就是個非平凡的方程，就可以解出來了。

如果我們把q套上一個比較好看的函式f，也就是假定f(2x)和f(x-1)都可以很好看地用f(x)表示出來，比如說反三角函式，那麼就是題圖裡面的步驟了。