區間上的連續主要麻煩就是分段問題，如果單純的連續只需要求導，發現是一次或者二次等簡單函式就已經完事了。
對於複雜函式、虛擬函式、多重分段函式、假設x=a是它的一個分段點，譬如 f(x)=g(x) (b,a] f(x)=k(x) (a,c) 這個分段函式。
要證明他在x=a處連續，顯然g(a)可以求出，那麼重點是x>a時。k(x)的問題，那麼我們假設k(x)可以取 x=a (嚴格來說，是趨近於x=a)。
考察 x→a 對應k(x)→k(a) (注意不可以寫等號!)
如果k(a)=g(a) 則稱f(x)在x=a處連續。
類似上面這樣，就是證明右邊的左極限等於已知函式值，根據實際題目需要也有證明左邊的右極限等於已知函式值，或者左邊的右極限等於右邊的左極限等等。
對於這種現象，我們說因變數關於自變數是連續變化的，連續函式在直角座標系中的影象是一條沒有斷裂的連續曲線。由極限的性質可知，一個函式在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。
擴充套件資料：
閉區間上的連續函式在該區間上一定有界。
所謂有界是指，存在一個正數M，使得對於任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。
證明：利用緻密性定理：有界的數列必有收斂子數列。
反證法，假設f(x)在[a,b]上無上界，則對任意正數M，都存在一個x"∈[a,b]，使f(x")>M。
特別地，對於任意正整數n，都存在一個xn∈[a,b]，使f(xn)>n。
閉區間上的連續函式在該區間上一定能取得最大值和最小值。
所謂最大值是指，[a，b]上存在一個點x0，使得對任意x∈[a，b]，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為f(x)在[a，b]上的最大值。最小值可以同樣作定義，只需把上面的不等號反向即可。
證明：利用確界原理：非空有上（下）界的點集必有上（下）確界。
由於已經證明了f(x)在[a,b]上有界，因此由確界原理可知，f(x)的值域f([a，b])必有上確界和下確界。
設f([a,b])的上確界為M，則必存在ξ∈[a，b]使f(ξ)=M
若不是這樣，根據上界的定義，對任意x∈[a，b]，都有f(x)
區間上的連續主要麻煩就是分段問題，如果單純的連續只需要求導，發現是一次或者二次等簡單函式就已經完事了。
對於複雜函式、虛擬函式、多重分段函式、假設x=a是它的一個分段點，譬如 f(x)=g(x) (b,a] f(x)=k(x) (a,c) 這個分段函式。
要證明他在x=a處連續，顯然g(a)可以求出，那麼重點是x>a時。k(x)的問題，那麼我們假設k(x)可以取 x=a (嚴格來說，是趨近於x=a)。
考察 x→a 對應k(x)→k(a) (注意不可以寫等號!)
如果k(a)=g(a) 則稱f(x)在x=a處連續。
類似上面這樣，就是證明右邊的左極限等於已知函式值，根據實際題目需要也有證明左邊的右極限等於已知函式值，或者左邊的右極限等於右邊的左極限等等。
對於這種現象，我們說因變數關於自變數是連續變化的，連續函式在直角座標系中的影象是一條沒有斷裂的連續曲線。由極限的性質可知，一個函式在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。
擴充套件資料：
閉區間上的連續函式在該區間上一定有界。
所謂有界是指，存在一個正數M，使得對於任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。
證明：利用緻密性定理：有界的數列必有收斂子數列。
反證法，假設f(x)在[a,b]上無上界，則對任意正數M，都存在一個x"∈[a,b]，使f(x")>M。
特別地，對於任意正整數n，都存在一個xn∈[a,b]，使f(xn)>n。
閉區間上的連續函式在該區間上一定能取得最大值和最小值。
所謂最大值是指，[a，b]上存在一個點x0，使得對任意x∈[a，b]，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為f(x)在[a，b]上的最大值。最小值可以同樣作定義，只需把上面的不等號反向即可。
證明：利用確界原理：非空有上（下）界的點集必有上（下）確界。
由於已經證明了f(x)在[a,b]上有界，因此由確界原理可知，f(x)的值域f([a，b])必有上確界和下確界。
設f([a,b])的上確界為M，則必存在ξ∈[a，b]使f(ξ)=M
若不是這樣，根據上界的定義，對任意x∈[a，b]，都有f(x)