解：f(x）=xcosx。

是u=x和v=cosx的積函式。

f=uv。

定義域為u和v的定義域的交集。

u=x的定義域為R,v=cosx的定義域為R

R交R=R。

R關於原點對稱，

在R中任取一點x.

f(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx=-f(x)

f(-x)+f(x)=0對於x:R上恆成立。

所以f(x)是奇函式。

影象關於原點（0，0）中心對稱，

先畫出在半區間[0,+無窮）上的影象，然後再把影象關於（0,0）順時針旋轉180度，即得對城區間（-無窮，0]上的影象，兩個區間的交集為{0},二者有公共部分，公共部分就為x=0這個點，然後並集（-無窮，0]u[0,+無窮）=（-無窮，0）u{0}u[0,+無窮）=（-無窮，0）u[0,+無窮）u{0}=Ru{0}=R。

所以在R上的影象就全部畫了出來。

f(x)=xcosx。

/f(x)/=/xcosx/=/x//cosx/,

對於x:R,cosx屬於[-1,1]

x:[0,+無窮）真包含於R,是R的子區間，在R上成立，在[0,+無窮）上一定成立

則cosx:[-1,1]

0

0

當/cosx/=0時，cosx=0,x=kpai,k：Z。x為終邊在x軸上的軸向角，

則f（x)=x*0=0。

當x=kpai,k:Z,

x>0

kpai>0

k>0,k:Z

k:Z+

k=1,2,3.......

x=pai,2pai,3pai,.........kpai,.....(k:Z+)

在這些點上f(x)=0。

2.當/cosx/=0時，即把/cosx/=0從[0,1]中去除掉，即0

x>=0

當x=0時，f(x)=0。

當x>0時，/x/=x>0。

0

/x/>0

則不等式兩邊統稱以/x/,不等號保持不變。

0

0

0

-x

畫出y=-x和y=x的影象在[0,+無窮）上的影象，為透過原點的兩條關於x軸對稱的射線。

因為{0}u[-x,0)u(0,x)=[-x,0]u(0,x]=[-x,x],x>=0。

f(x)在-x和x之間，不會超過這兩個值

那麼f(x)的影象一定在y=-x和y=x的影象之間，不會超出，最多和這兩條射線相切，

是正當的曲線。

然後會透過（0,0),(pai,0）.......(kpai,0),k:Z+

即與x軸的交點。

然後在[0,pai]上是在x軸上方，在（pai,2pai]在x軸的下方，交替出現，

然後在[(k-1)pai,kpai]內的絕對值最值隨著k的增大而增大，

即震盪的幅度逐漸增大，k-無窮，則正負-無窮大。

同理，在（-無窮，0]上的影象關於（0,0)對稱，也在y=-x和y=x之間爭當。

在R這個無窮區間上無限地正當下去，這個影象在[0,+無窮）隨著x的增大，則震盪越來越劇烈，

k增大，則在區間[（k-1)π，kpai)內,k:Z+,f(x)的最值得絕對值隨k的增大而增大，設在這之間的/f(x)/的最值=f(x0),x0屬於[（k-1)π，kpai)內,k:Z+，隨著x的增大，然後/f(x)/max增大，因為x-+無窮，則/f(x)/max-+無窮，因為/f(x)/max在（0，+無窮）上是單調遞增的，所以x-無窮大，/f(x)/max-無窮大，f(x)>0時，f(x)max-無窮大，f(x)max不存在，當f(x)

根據對稱性，在（-無窮，0]上f(x)也是無界函式

綜上f(x)在（-無窮，+無窮）上是無界函式。