設a=（x,y）,b=(x",y").1、向量的加法向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則.AB+BC=AC.a+b=(x+x",y+y").a+0=0+a=a.向量加法的運算律：交換律：a+b=b+a；結合律：(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的減法如果a、b是互為相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0AB-AC=CB.即“共同起點,指向被減”a=(x,y) b=(x",y") 則 a-b=(x-x",y-y").3、數乘向量實數λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.當λ＞0時,λa與a同方向；當λ＜0時,λa與a反方向；當λ=0時,λa=0,方向任意.當a=0時,對於任意實數λ,都有λa=0.注：按定義知,如果λa=0,那麼λ=0或a=0.實數λ叫做向量a的係數,乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮.當∣λ∣＞1時,表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；當∣λ∣＜1時,表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍.數與向量的乘法滿足下面的運算律結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb,那麼a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那麼λ=μ.4、向量的的數量積定義：兩個非零向量的夾角記為〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]（a+b)·c=a·c+b·c（分配率）；向量的數量積的性質a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.向量的數量積與實數運算的主要不同點1）向量的數量積不滿足結合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.2）向量的數量積不滿足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.3）|a·b|≠|a|·|b|4）由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b4、向量的向量積定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量,記作a×b.若a、b不共線,則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直於a和b,且a、b和a×b按這個次序構成右手系.若a、b共線,則a×b=0.向量的向量積性質：∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積.a×a=0.a∥b〈=〉a×b=0.向量的向量積運算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量沒有除法,“向量AB/向量CD”是沒有意義的.擴充套件資料：向量的記法：印刷體記作粗體的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭“→”。 如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作AB（並於頂上加→）。在空間直角座標系中，也能把向量以數對形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。在物理學和工程學中，幾何向量更常被稱為向量。許多物理量都是向量，比如一個物體的位移，球撞向牆而對其施加的力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯絡，例如向量勢對應於物理中的勢能。研究向量空間一般會涉及一些額外結構。額外結構如下：1 一個實數或複數向量空間加上長度概念。就是範數稱為賦範向量空間。2 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念，稱為內積空間。3 一個向量空間加上拓撲學符合運算的（加法及標量乘法是連續對映）稱為拓撲向量空間。4 一個向量空間加上雙線性運算元（定義為向量乘法）是個域代數。概念：2 向量的模：有向線段AB的長度叫做向量的模，記作|AB|；4 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量；5 平行向量（共線向量）：兩個方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量，零向量與任意向量平行，即0//a；6 單位向量：模等於1個單位長度的向量叫做單位向量，通常用e表示，平行於座標軸的單位向量習慣上分別用i、j表示。7 相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。平面向量是在二維平面內既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理學中也稱作向量，與之相對的是隻有大小、沒有方向的數量（標量）。平面向量用a,b,c上面加一個小箭頭表示，也可以用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。向量的模的運算沒有專門的法則，一般都是透過餘弦定理計算兩個向量的和、差的模。多個向量的合成用正交分解法，如果要求模一般需要先算出合成後的向量。模是絕對值在二維和三維空間的推廣，可以認為就是向量的長度。推廣到高維空間中稱為範數。向量積，數學中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量和垂直。其應用也十分廣泛，通常應用於物理學光學和計算機圖形學中。
設a=（x,y）,b=(x",y").1、向量的加法向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則.AB+BC=AC.a+b=(x+x",y+y").a+0=0+a=a.向量加法的運算律：交換律：a+b=b+a；結合律：(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的減法如果a、b是互為相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0AB-AC=CB.即“共同起點,指向被減”a=(x,y) b=(x",y") 則 a-b=(x-x",y-y").3、數乘向量實數λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.當λ＞0時,λa與a同方向；當λ＜0時,λa與a反方向；當λ=0時,λa=0,方向任意.當a=0時,對於任意實數λ,都有λa=0.注：按定義知,如果λa=0,那麼λ=0或a=0.實數λ叫做向量a的係數,乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮.當∣λ∣＞1時,表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；當∣λ∣＜1時,表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍.數與向量的乘法滿足下面的運算律結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb,那麼a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那麼λ=μ.4、向量的的數量積定義：兩個非零向量的夾角記為〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]（a+b)·c=a·c+b·c（分配率）；向量的數量積的性質a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.向量的數量積與實數運算的主要不同點1）向量的數量積不滿足結合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.2）向量的數量積不滿足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.3）|a·b|≠|a|·|b|4）由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b4、向量的向量積定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量,記作a×b.若a、b不共線,則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直於a和b,且a、b和a×b按這個次序構成右手系.若a、b共線,則a×b=0.向量的向量積性質：∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積.a×a=0.a∥b〈=〉a×b=0.向量的向量積運算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量沒有除法,“向量AB/向量CD”是沒有意義的.擴充套件資料：向量的記法：印刷體記作粗體的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭“→”。 如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作AB（並於頂上加→）。在空間直角座標系中，也能把向量以數對形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。在物理學和工程學中，幾何向量更常被稱為向量。許多物理量都是向量，比如一個物體的位移，球撞向牆而對其施加的力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯絡，例如向量勢對應於物理中的勢能。研究向量空間一般會涉及一些額外結構。額外結構如下：1 一個實數或複數向量空間加上長度概念。就是範數稱為賦範向量空間。2 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念，稱為內積空間。3 一個向量空間加上拓撲學符合運算的（加法及標量乘法是連續對映）稱為拓撲向量空間。4 一個向量空間加上雙線性運算元（定義為向量乘法）是個域代數。概念：2 向量的模：有向線段AB的長度叫做向量的模，記作|AB|；4 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量；5 平行向量（共線向量）：兩個方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量，零向量與任意向量平行，即0//a；6 單位向量：模等於1個單位長度的向量叫做單位向量，通常用e表示，平行於座標軸的單位向量習慣上分別用i、j表示。7 相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。平面向量是在二維平面內既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理學中也稱作向量，與之相對的是隻有大小、沒有方向的數量（標量）。平面向量用a,b,c上面加一個小箭頭表示，也可以用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。向量的模的運算沒有專門的法則，一般都是透過餘弦定理計算兩個向量的和、差的模。多個向量的合成用正交分解法，如果要求模一般需要先算出合成後的向量。模是絕對值在二維和三維空間的推廣，可以認為就是向量的長度。推廣到高維空間中稱為範數。向量積，數學中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量和垂直。其應用也十分廣泛，通常應用於物理學光學和計算機圖形學中。