設雙曲線方程為x^2/a^2-y^2/b^2=1,c^2=a^2+b^2
則直線x=c與雙曲線的交點為(c,b^2/a)(c,-b^2/a),故通徑為2b^2/a
設過點(c,0)的直線方程為y=k(x-c),(kb/a,k不等於0),與雙曲線交點為A(x1,y1),B(x2,y2)(x1,x2>0)
代入x^2/a^2-y^2/b^2=1得
(1/a^2-k^2/b^2)x^2+2ck^2*x/b^2-c^2*k^2/b^2-1=0
則x1+x2=-2ck^2/(b^2/a^2-k^2),x1*x2=-(c^2*k^2+b^2)/(b^2/a^2-k^2)
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4*x1*x2=4[c^2*k^4+(c^2*k^2+b^2)(b^2/a^2-k^2)]/(b^2/a^2-k^2)^2
=4(k^2+1)b^4*a^2/(b^2-a^2*k^2)^2
利用y=k(x-c)得(y1-y2)^2=[k(x1-x2)]^2
所以弦AB=根號下[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=2(k^2+1)a*b^2/(a^2*k^2-b^2)
AB-通徑=2(k^2+1)a*b^2/(a^2*k^2-b^2)-2b^2/a=2c^2*b^2/a(a^2*k^2-b^2)>0
所以雙曲線中過焦點和同一支產生的弦中,通徑最短
設雙曲線方程為x^2/a^2-y^2/b^2=1,c^2=a^2+b^2
則直線x=c與雙曲線的交點為(c,b^2/a)(c,-b^2/a),故通徑為2b^2/a
設過點(c,0)的直線方程為y=k(x-c),(kb/a,k不等於0),與雙曲線交點為A(x1,y1),B(x2,y2)(x1,x2>0)
代入x^2/a^2-y^2/b^2=1得
(1/a^2-k^2/b^2)x^2+2ck^2*x/b^2-c^2*k^2/b^2-1=0
則x1+x2=-2ck^2/(b^2/a^2-k^2),x1*x2=-(c^2*k^2+b^2)/(b^2/a^2-k^2)
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4*x1*x2=4[c^2*k^4+(c^2*k^2+b^2)(b^2/a^2-k^2)]/(b^2/a^2-k^2)^2
=4(k^2+1)b^4*a^2/(b^2-a^2*k^2)^2
利用y=k(x-c)得(y1-y2)^2=[k(x1-x2)]^2
所以弦AB=根號下[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=2(k^2+1)a*b^2/(a^2*k^2-b^2)
AB-通徑=2(k^2+1)a*b^2/(a^2*k^2-b^2)-2b^2/a=2c^2*b^2/a(a^2*k^2-b^2)>0
所以雙曲線中過焦點和同一支產生的弦中,通徑最短