寫一個不算純數學的證明，應用了物理，具體來說就是熱力學第二定律的變體，自由能最小原理。第一步先證明共圓。1.對於周長C=a+b+…+z（不一定是26邊形）的多邊形，固定其每個邊的邊長，邊與邊用轉動副連線，沿垂直紙面方向拉伸此多邊形，使其形成多邊柱形水桶，往水桶裡倒體積為V的水。在平衡狀態，為了保持最小的能量，水的重心（在水面高度的一半處，因為是柱形多邊形）應該儘量低，即水面儘量低，則由V=Sh知，水面面積取最大值。2.對桶進行受力分析，取俯檢視，每邊受到的水的壓力F=p×a（邊長），正比於邊長，可以認為等於邊長，垂直邊長指向外側，作用點在各邊中點。對每邊列平衡方程（包括合力和合力矩），以頂點為轉動點，力矩平衡F/2×a=f×a，知f=F/2，同理可得另一邊也為F/2。同時水平方向兩力平衡。由於頂點處兩邊合力為作用力與反作用力，所以相等，可以得到一個相似圖形，進而推出各邊垂直平分線相交於一點，即共圓。2.共圓多邊形邊長相等時面積最大。設A,B,…,Z為邊a,b,…,z所對圓周角，則a/sin(A)=b/sin(B)=,…,=z/sin(Z)=2R(R為圓半徑，ΣA=π，0<A,B,…,Z≤π/2)。得:周長C=2R(sin(A)+sin(B)+…+sin(Z)) ①面積S=1/2R^2(sin(2A)+sin(2B)+…+sin(2Z))=R^2sin(A)cos(A)+R^2sin(B)cos(B)+…+R^2sin(Z)cos(Z)=Rsin(A)Rcos(A)+Rsin(B)Rcos(B)+…+Rsin(Z)Rcos(Z) ②利用切比雪夫不等式得:②≤R(sin(A)+sin(B)+…+sin(Z)) *R(cos(A)+cos(B)+…+cos(Z))/n.(n為邊數，當且僅當A=B=…=Z時取等號，亦即a=b=…=z)。最大面積S=C/2*Rcos(π/n)=C*a/4 cot(π/n).
寫一個不算純數學的證明，應用了物理，具體來說就是熱力學第二定律的變體，自由能最小原理。第一步先證明共圓。1.對於周長C=a+b+…+z（不一定是26邊形）的多邊形，固定其每個邊的邊長，邊與邊用轉動副連線，沿垂直紙面方向拉伸此多邊形，使其形成多邊柱形水桶，往水桶裡倒體積為V的水。在平衡狀態，為了保持最小的能量，水的重心（在水面高度的一半處，因為是柱形多邊形）應該儘量低，即水面儘量低，則由V=Sh知，水面面積取最大值。2.對桶進行受力分析，取俯檢視，每邊受到的水的壓力F=p×a（邊長），正比於邊長，可以認為等於邊長，垂直邊長指向外側，作用點在各邊中點。對每邊列平衡方程（包括合力和合力矩），以頂點為轉動點，力矩平衡F/2×a=f×a，知f=F/2，同理可得另一邊也為F/2。同時水平方向兩力平衡。由於頂點處兩邊合力為作用力與反作用力，所以相等，可以得到一個相似圖形，進而推出各邊垂直平分線相交於一點，即共圓。2.共圓多邊形邊長相等時面積最大。設A,B,…,Z為邊a,b,…,z所對圓周角，則a/sin(A)=b/sin(B)=,…,=z/sin(Z)=2R(R為圓半徑，ΣA=π，0<A,B,…,Z≤π/2)。得:周長C=2R(sin(A)+sin(B)+…+sin(Z)) ①面積S=1/2R^2(sin(2A)+sin(2B)+…+sin(2Z))=R^2sin(A)cos(A)+R^2sin(B)cos(B)+…+R^2sin(Z)cos(Z)=Rsin(A)Rcos(A)+Rsin(B)Rcos(B)+…+Rsin(Z)Rcos(Z) ②利用切比雪夫不等式得:②≤R(sin(A)+sin(B)+…+sin(Z)) *R(cos(A)+cos(B)+…+cos(Z))/n.(n為邊數，當且僅當A=B=…=Z時取等號，亦即a=b=…=z)。最大面積S=C/2*Rcos(π/n)=C*a/4 cot(π/n).