假設向量組1的極大無關組為α1、α2、...αm，向量組2的極大無關組為β1、β2、...βn，又因為向量組1可由向量組2線性表出，則α1、α2、...、αm，可由β1、β2、...、βn，線性表出，假設m＞n，

根據定理 向量組A（s個向量）可由向量組B（t個向量）線性表出，且s＞t，則向量組A線性相關。則α1、α2、...、αm，線性相關，矛盾，最終可得m＜＝n，即向量組1的秩小於等於向量組2的秩。

有向量組的秩的概念可以引出矩陣的秩的概念。一個m行n列的矩陣可以看做是m個行向量構成的行向量組，也可看做n個列向量構成的列向量組。行向量組的秩成為行秩，列向量組的秩成為列秩，容易證明行秩等於列秩，所以就可成為矩陣的秩。矩陣的秩線上性代數中有著很大的應用，可以用於判斷逆矩陣和線性方程組解的計算等方面。

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根據向量組的秩可以推出一些線性代數中比較有用的定理

向量組α1，α2，···，αs線性無關等價於R{α1，α2，···，αs}=s。

若向量組α1，α2，···，αs可被向量組β1，β2，···，βt線性表出，則R{α1，α2，···，αs}小於等於R{β1，β2，···，βt}。

等價的向量組具有相等的秩。

若向量組α1，α2，···，αs線性無關，且可被向量組β1，β2，···，βt線性表出，則s小於等於t。

向量組α1，α2，···，αs可被向量組β1，β2，···，βt線性表出，且s>t，則α1，α2，···，αs線性相關。

任意n+1個n維向量線性相關。