設 (a1, a2, a3)x = b, 即 Ax = b，若有非零解，即 b 可由 a1, a2, a3 線性表出。增廣矩陣 (A, b) =[2 -1 2 0][2 2 1 1][3 1 -1 2][1 2 -2 3]初等行變換為[1 2 -2 3][0 -5 6 -6][0 -2 5 -5][0 -5 3 -4]初等行變換為[1 0 3 -2][0 -2 5 -5][0 -5 6 -6][0 0 -3 2]初等行變換為[1 0 3 -2][0 -2 5 -5][0 -10 12 -12][0 0 -3 2]初等行變換為[1 0 3 -2][0 -2 5 -5][0 0 -13 13][0 0 -3 2]初等行變換為[1 0 0 1][0 -2 0 0][0 0 1 -1][0 0 0 -1]初等行變換為[1 0 0 1][0 1 0 0][0 0 1 -1][0 0 0 1]r(A, b) = 4, r(A) = 3, 方程組無解，b 不能由 a1, a2, a3 線性表出。線性代數是數學的一個分支，它的研究物件是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題；因而，線性代數被廣泛地應用於抽象代數和泛函分析中；透過解析幾何，線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為運算元理論。由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。

擴充套件資料

線性代數起源於對二維和三維直角座標系的研究。在這裡，一個向量是一個有方向的線段，由長度和方向同時表示。這樣向量可以用來表示物理量，比如力，也可以和標量做加法和乘法。這就是實數向量空間的第一個例子。現代線性代數已經擴充套件到研究任意或無限維空間。一個維數為 n 的向量空間叫做n 維空間。在二維和三維空間中大多數有用的結論可以擴充套件到這些高維空間。儘管許多人不容易想象n 維空間中的向量，這樣的向量（即n 元組）用來表示資料非常有效。由於作為 n 元組，向量是n 個元素的“有序”列表，大多數人可以在這種框架中有效地概括和操縱資料。比如，在經濟學中可以使用 8 維向量來表示 8 個國家的國民生產總值（GNP）。當所有國家的順序排定之後，比如（中國、美國、英國、法國、德國、西班牙、印度、澳洲）。