摘要：本文首先對薛定諤方程的提出及發展做了一個簡單介紹。

然後，以在一維空間運動的粒子構成的諧振子的體系為例，詳細介紹了矩陣法求解薛定諤方程的過程及公式推導。最後，透過MATLAB程式設計模擬實現了求解結果。關鍵詞：定態薛定諤方程求解 矩陣法 MATLAB模擬 薛定諤方程簡介 1.1背景資料 薛定諤方程是由奧地利物理學家薛定諤提出的量子力學中的一個基本方程，是將物質波的概念和波動方程相結合建立的二階偏微分方程，可描述微觀粒子的運動，每個微觀系統都有一個相應的薛定諤方程式，透過解方程可得到波函式的具體形式以及對應的能量，從而瞭解微觀系統的性質。其僅適用於速度不太大的非相對論粒子，其中也沒有包含關於粒子自旋的描述。當計及相對論效應時，薛定諤方程由相對論量子力學方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。薛定諤方程建立於 1926年。它是一個非相對論的波動方程。它反映了描述微觀粒子的狀態隨時間變化的規律，它在量子力學中的地位相當於牛頓定律對於經典力學一樣，是量子力學的基本假設之一。設描述微觀粒子狀態的波函式為Ψ（r，t），質量為m的微觀粒子在勢場V（r，t）中運動的薛定諤方程為 在給定初始條件和邊界條件以及波函式所滿足的單值、有限、連續的條件下，可解出波函式Ψ（r，t）。由此可計算粒子的分佈機率和任何可能實驗的平均值（期望值）。當勢函式V不依賴於時間t時，粒子具有確定的能量，粒子的狀態稱為定態。定態時的波函式可寫成式中Ψ（r）稱為定態波函式，滿足定態薛定諤方程，這一方程在數學上稱為本徵方程，式中E為本徵值，是定態能量，Ψ（r）又稱為屬於本徵值E的本徵函式。　　量子力學中求解粒子問題常歸結為解薛定諤方程或定態薛定諤方程。薛定諤方程揭示了微觀物理世界物質運動的基本規律，被廣泛地用於原子物理、核物理和固體物理，對於原子、分子、核、固體等一系列問題中求解的結果都與實際符合得很好。定態薛定諤方程直角座標系形式 定態薛定諤方程球座標系形式 1.2定態薛定諤方程 條件 V（r,t）=V(r)， 與t無關。用分離變數法, 令Ψ=φ(r)f(t)，代入薛定諤方程，得兩個方程： 此稱定態薛定諤方程 整個定態波函式形式： 特點： 波函式由空間部分函式與時間部分函式相乘； B．時間部分函式是確定的。定態波函式機率密度W與t無關，機率分佈不隨時間而變，因此稱為定態。1.3本徵方程、本徵函式與本徵值 算符： 本徵方程： λ：本徵值，有多個，甚至無窮多個 ψλ：本徵值為λ的本徵函式，也有多個，甚至無窮多個，有時一個本徵值對應多個不同的本徵函式，這稱為簡併。若一個本徵值對應的不同本徵函式數目為N，則稱N重簡併。1.4 定態情況下的薛定諤方程一般解 1、定態薛定諤方程或不含時的薛定諤方程是能量本徵方程，E就稱為體系的能量本徵值，而相應的解稱為能量的本徵函式。2、當不顯含時時，體系的能量是收恆量，可用分離變數。3、解定態薛定諤方程，關鍵是寫出哈密頓量算符。2. 利用矩陣法求解薛定諤方程 以在一維空間運動的粒子構成的諧振子的體系為例。該粒子的勢能是，是諧振子的角頻率，因此諧振子的哈密頓量為 。當時，諧振子的勢能變為無窮大，因此，粒子只能在有限的空間上運動，並且能量值譜是分立的。下面採用矩陣的方法，確定諧振子的能量分立值。從運動方程出發 （1） 而勢能 那麼 又代入上式（1）得 即 （2） 在矩陣形式下，該方程可以寫為 含時座標矩陣元 （3） 對它求導，我們得到 代入上式後，有 （4） 其中 （5） 所以，除了當或外，所有的座標矩陣元都等於零 當時，由（5）式有 即 同理， 因此，只有變化時，才能得到頻率即 所以不為零的座標矩陣元為 根據定義[12-14] 對於存在的波函式，應為實數，所有的矩陣元也為實數，由厄密算符的性質得 為了計算座標的矩陣元，由對易關係 又 代入上式易得 寫為矩陣形式，有 根據矩陣的乘法規則，有 又，則有由前面的分析知，只有時，才存在矩陣元，代入上式， 從該方程我們可以得出 矩陣元不為零，但是當時，矩陣元則 即 又 依次類推，得出 最後，我們得到座標矩陣元不為零的表示式 又諧振子的能量可以用來表示，且，計算該能量得 其中，對於全部的1求和，只有當引數時座標矩陣元不為零，因此得到 亦即 因此，諧振子的能級以為間隔，最低能級是 MATLAB模擬結果 線性諧振子的前六個本徵函式 上圖為線性諧振子的前六個本徵函式，圖中縱軸橫線表示具有相同能量的經典線性諧振子的振動範圍。有限方勢阱前六個本徵函式 上圖為有限方勢阱的前六個本徵函式，圖中縱軸橫線表示具有相同能量的經典線性諧振子的振動範圍。