看各分段函式的函式式是不是連續（這就是一般的初等函式是否連續的做法） 然後看分段函式的分段點，左右極限是否相等並等於函式值。 分段點處的左極限用左邊的函式式做， 分段點處的右極限用右邊的函式式做。通需判斷段點左邊及右邊函式值否相等且等於該點函式值即：比如：x>=0，f(x)=x^2 1。xa時,導函式的極限存在，那麼：f(x)在點a處可導，且等於[x-->a時，f(x)的導函式的極限]。擴充套件資料：連續函式的性質定理：閉區間上的連續函式具有一些重要的性質，是數學分析的基礎，也是實數理論在函式中的直接體現。下面的性質都基於f(x)是[a,b]上的連續函式得出的結論。1、有界性閉區間上的連續函式在該區間上一定有界。所謂有界是指，存在一個正數M，使得對於任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。2、最值性閉區間上的連續函式在該區間上一定能取得最大值和最小值。所謂最大值是指，[a,b]上存在一個點x0，使得對任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同樣作定義，只需把上面的不等號反向即可。證明：利用確界原理：非空有上（下）界的點集必有上（下）確界。由於已經證明了f(x)在[a,b]上有界，因此由確界原理可知，f(x)的值域f([a,b])必有上確界和下確界。3、介值性若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。則對A、B之間的任意實數C，在開區間(a,b)上至少有一點c，使f(c)=C。這個性質又被稱作介值定理，其包含了兩種特殊情況：（1）零點定理。也就是當f(x)在兩端點處的函式值A、B異號時（此時有0在A和B之間），在開區間(a,b)上必存在至少一點ξ，使f(ξ)=0。（2）閉區間上的連續函式在該區間上必定取得最大值和最小值之間的一切數值。也就是設f(x)在[a,b]上的最大值、最小值分別為M、m（M≠m），並且f(x1)=M，f(x2)=m，x1、x2∈[a,b]。在閉區間[x1,x2]或[x2,x1]上使用介值定理即可。證明：零點定理可以利用閉區間套定理：如果{[an,bn]}是一個閉區間套，那麼存在唯一實數ξ屬於所有的閉區間。詳細證法參考相應詞條。介值定理可以構造輔助函式來證明。令g(x)=f(x)-C，其中C是A和B之間的任一實數，則g(x)在[a,b]上連續。不妨設A
看各分段函式的函式式是不是連續（這就是一般的初等函式是否連續的做法） 然後看分段函式的分段點，左右極限是否相等並等於函式值。 分段點處的左極限用左邊的函式式做， 分段點處的右極限用右邊的函式式做。通需判斷段點左邊及右邊函式值否相等且等於該點函式值即：比如：x>=0，f(x)=x^2 1。xa時,導函式的極限存在，那麼：f(x)在點a處可導，且等於[x-->a時，f(x)的導函式的極限]。擴充套件資料：連續函式的性質定理：閉區間上的連續函式具有一些重要的性質，是數學分析的基礎，也是實數理論在函式中的直接體現。下面的性質都基於f(x)是[a,b]上的連續函式得出的結論。1、有界性閉區間上的連續函式在該區間上一定有界。所謂有界是指，存在一個正數M，使得對於任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。2、最值性閉區間上的連續函式在該區間上一定能取得最大值和最小值。所謂最大值是指，[a,b]上存在一個點x0，使得對任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同樣作定義，只需把上面的不等號反向即可。證明：利用確界原理：非空有上（下）界的點集必有上（下）確界。由於已經證明了f(x)在[a,b]上有界，因此由確界原理可知，f(x)的值域f([a,b])必有上確界和下確界。3、介值性若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。則對A、B之間的任意實數C，在開區間(a,b)上至少有一點c，使f(c)=C。這個性質又被稱作介值定理，其包含了兩種特殊情況：（1）零點定理。也就是當f(x)在兩端點處的函式值A、B異號時（此時有0在A和B之間），在開區間(a,b)上必存在至少一點ξ，使f(ξ)=0。（2）閉區間上的連續函式在該區間上必定取得最大值和最小值之間的一切數值。也就是設f(x)在[a,b]上的最大值、最小值分別為M、m（M≠m），並且f(x1)=M，f(x2)=m，x1、x2∈[a,b]。在閉區間[x1,x2]或[x2,x1]上使用介值定理即可。證明：零點定理可以利用閉區間套定理：如果{[an,bn]}是一個閉區間套，那麼存在唯一實數ξ屬於所有的閉區間。詳細證法參考相應詞條。介值定理可以構造輔助函式來證明。令g(x)=f(x)-C，其中C是A和B之間的任一實數，則g(x)在[a,b]上連續。不妨設A