1.運動學中的加速度
我們知道，物理上通常用某個物理變數對時間的導數來反映它隨時間變化的快慢。為了描述速度的這一變化情況，我們引入加速度的概念。
作為一個基本且十分重要的運動學物理量，某時刻（瞬時）加速度向量在經典力學體系中的定義是：速度向量在該時刻對時間的導數：
它是所謂平均加速度 的極限情況。後者用於描述速度在一段時間之內的變化結果，而前者作為速度向量的時間變化率，它同時包含了描述速度大小和方向變化快慢的兩部分資訊。
反映在速度-時間影象上，加速度可以用速度曲線的切線斜率來表示。
2.牛頓力學中的加速度
加速度的概念在牛頓力學中佔據重要地位。牛頓第二定律 給出了力與運動之間的關係，事實上正是物體加速度的決定式，即所謂“物體運動的加速度與受到的合外力成正比，與質量成反比，加速度的方向沿著合力方向”： 。牛頓第二定律是整個牛頓力學的重要基礎之一，可見加速度在牛頓力學之中扮演的重要角色。
牛頓第二定律僅僅適用於慣性系之中。在相對於某慣性系的加速度為 的非慣性系中，我們可以認為物體額外受到一個假象的作用力，即慣性力： ，由此可以形式上地保持牛頓第二定律的形式。
3.狹義相對論中的加速度
在狹義相對論之中，仍可參考經典力學中的定義來類比定義粒子的“3-加速”:
其中 為粒子相對於某座標系 的3-速， 為該系的座標時。
然而這一定義並不常用，地位也難以媲美在牛頓力學中的地位。其中一個原因在於，經典時空觀給出的不同慣性系之間加速度的伽利略變換關係非常簡單 ，是一個性質良好的伽利略不變數；而在狹義相對論時空觀滿足的洛倫茲變換下的形式則十分複雜。
事實上，如果應用數學上的閔科夫斯基空間來描述4維時空，我們很容易在定義了4-速 （即粒子世界線的按照線長引數的切向量 ）的基礎上定義粒子的4-加速：
即4-速沿著世界線的導數。這裡定義的4-加速是一個4維向量，是絕對的，與慣性系的選取無關，從而避免了上述3-加速的問題。形象上看，它可以表徵粒子世界線相對於測地線的偏離程度；當 時，定義式即退化為測地線方程 （這種偏離可以由 來刻畫）。
值得注意的是，兩種加速度代表了看待物體運動的兩種截然不同的觀念：牛頓力學認為在引力場中自由下落的物體具有3-加速（因而不是自由的），而相對論卻認為此時的質點是自由質點，不具有4加速；類似地，牛頓力學認為在引力場中受到除引力外其他力而保持靜止的質點不具有3加速，處於慣性狀態，但是相對論卻認為其具有4加速，世界線不是測地線。因而同一運動質點，其3-加速與4-加速之間不存在必然的存在性關係。
在粒子靜質量 不變的情況下，藉助4-加速，我們形式上可以得到與經典力學中牛頓第二定律形似的狹義相對論動力學方程：
這裡 是粒子受到的（除引力之外的）4-力。
4.廣義相對論中的加速度
在廣義相對論的歷史上，應當說“等效原理”在它的提出中扮演著一個重要角色。不同強度的等效原理，描述的是下述兩參考系之間不同程度之間的等價性：
引力場中具有牛頓慣性的區域性參考系與平直時空中具有3-加速的參考系（或者選取引力場中的區域性慣性系與平直時空的慣性系）。
換句話說，觀測者不能在局域內（利用不同程度的物理實驗）分辨出由3-加速或由真實的、物質分佈引起的引力所產生的效應（儘管兩者在廣義相對論語境中存在事實上的根本性區別）。
另一方面，廣義相對論也沿用了之前關於4-加速的定義和動力學方程：
只不過將普通導數算符替換為與度規適配的導數算符。
參考資料：梁燦彬, 周彬. 微分幾何入門與廣義相對論, 上冊.
1.運動學中的加速度
我們知道，物理上通常用某個物理變數對時間的導數來反映它隨時間變化的快慢。為了描述速度的這一變化情況，我們引入加速度的概念。
作為一個基本且十分重要的運動學物理量，某時刻（瞬時）加速度向量在經典力學體系中的定義是：速度向量在該時刻對時間的導數：
它是所謂平均加速度 的極限情況。後者用於描述速度在一段時間之內的變化結果，而前者作為速度向量的時間變化率，它同時包含了描述速度大小和方向變化快慢的兩部分資訊。
反映在速度-時間影象上，加速度可以用速度曲線的切線斜率來表示。
2.牛頓力學中的加速度
加速度的概念在牛頓力學中佔據重要地位。牛頓第二定律 給出了力與運動之間的關係，事實上正是物體加速度的決定式，即所謂“物體運動的加速度與受到的合外力成正比，與質量成反比，加速度的方向沿著合力方向”： 。牛頓第二定律是整個牛頓力學的重要基礎之一，可見加速度在牛頓力學之中扮演的重要角色。
牛頓第二定律僅僅適用於慣性系之中。在相對於某慣性系的加速度為 的非慣性系中，我們可以認為物體額外受到一個假象的作用力，即慣性力： ，由此可以形式上地保持牛頓第二定律的形式。
3.狹義相對論中的加速度
在狹義相對論之中，仍可參考經典力學中的定義來類比定義粒子的“3-加速”:
其中 為粒子相對於某座標系 的3-速， 為該系的座標時。
然而這一定義並不常用，地位也難以媲美在牛頓力學中的地位。其中一個原因在於，經典時空觀給出的不同慣性系之間加速度的伽利略變換關係非常簡單 ，是一個性質良好的伽利略不變數；而在狹義相對論時空觀滿足的洛倫茲變換下的形式則十分複雜。
事實上，如果應用數學上的閔科夫斯基空間來描述4維時空，我們很容易在定義了4-速 （即粒子世界線的按照線長引數的切向量 ）的基礎上定義粒子的4-加速：
即4-速沿著世界線的導數。這裡定義的4-加速是一個4維向量，是絕對的，與慣性系的選取無關，從而避免了上述3-加速的問題。形象上看，它可以表徵粒子世界線相對於測地線的偏離程度；當 時，定義式即退化為測地線方程 （這種偏離可以由 來刻畫）。
值得注意的是，兩種加速度代表了看待物體運動的兩種截然不同的觀念：牛頓力學認為在引力場中自由下落的物體具有3-加速（因而不是自由的），而相對論卻認為此時的質點是自由質點，不具有4加速；類似地，牛頓力學認為在引力場中受到除引力外其他力而保持靜止的質點不具有3加速，處於慣性狀態，但是相對論卻認為其具有4加速，世界線不是測地線。因而同一運動質點，其3-加速與4-加速之間不存在必然的存在性關係。
在粒子靜質量 不變的情況下，藉助4-加速，我們形式上可以得到與經典力學中牛頓第二定律形似的狹義相對論動力學方程：
這裡 是粒子受到的（除引力之外的）4-力。
4.廣義相對論中的加速度
在廣義相對論的歷史上，應當說“等效原理”在它的提出中扮演著一個重要角色。不同強度的等效原理，描述的是下述兩參考系之間不同程度之間的等價性：
引力場中具有牛頓慣性的區域性參考系與平直時空中具有3-加速的參考系（或者選取引力場中的區域性慣性系與平直時空的慣性系）。
換句話說，觀測者不能在局域內（利用不同程度的物理實驗）分辨出由3-加速或由真實的、物質分佈引起的引力所產生的效應（儘管兩者在廣義相對論語境中存在事實上的根本性區別）。
另一方面，廣義相對論也沿用了之前關於4-加速的定義和動力學方程：
只不過將普通導數算符替換為與度規適配的導數算符。
參考資料：梁燦彬, 周彬. 微分幾何入門與廣義相對論, 上冊.