不用數學分析的話我“ 不嚴謹 ”的給你一個思路：其實只需要知道兩點即可。第一就是這個面積最大的圖形一定是外凸的。第二就是任意平分這個圖形周長的兩點所連成的直線也是平分圖形面積的。顯然知道這兩點其實就可以（不嚴格的）說明它是圓了。下面詳細說明上面兩個斷言。

首先假如這個圖形某個地方不是外凸的話，可以在這個地方的外部沿著影象邊界做一條切線，然後將在切線內測的影象對稱做到外面，顯然這樣得到的圖形周長不變面積增大了。所以可知如果面積最大，則一定是外凸的。

關於第二點你也可以利用對稱性說明，任意固定曲線上一點p，然後在這個閉合曲線上一定可以找到另一個點使得這倆點把曲線的周長平分，連線這倆點後的直線把影象一分為二，如果直線倆邊的封閉面積不等，顯然可以利用對稱性對摺過去，周長不變而面積變大了，因此可以說明任意一條平分周長的直線一定也平分面積。然後你可以設想，若這個外凸影象的彎曲程度不均勻的話，（不嚴格的說）你總可以找到一條平分周長與面積的直線透過對稱對摺手段在這個封閉影象與對稱直線的交接處在區域性構造出一個內凸的部分（可以畫圖試試），這顯然是與第一條衝突的，因此可以斷定這個影象邊界的彎曲程度或曲率是不變的。

由此可以斷定這個影象是個圓。

其實上面有諸多細節方面的漏洞或者本質的錯誤，還請各位取其精華，去其糟粕的看待。再次宣告：我只是提供一個思路並不是給出了一個答案。